关于反三角函数及其导数

反三角函数是基本初等函数的重要组成部分，但似乎又是许多人常问的主体之一。为了方便理解和查询，本文总结了以下内容：

常见的六种三角函数对应的反三角函数的定义、定义域、值域，并给出对应三角形图示汇总、对应图象汇总
利用反函数求导法则完成了上述所有反三角函数的导数公式的推导，并详细总结了其值域、定义域等内容

本文内容也可作为备忘资料以便查阅使用。

一、常用三角函数与反三角函数

常见的六种三角函数可以分别由以下六种三角形表示

图1.三角函数及其对应三角形

反三角函数是三角函数的反函数。若将上图中所有x,y 调换位置则得到反三角函数的图示：

图2.反三角函数及其对应三角形

上述反三角函数的图象如下图所示：

图3.反三角函数的图象

在使用反三角函数时一定要注意其定义值和值域。

表1. 反三角函数的定义值及值域

\begin{array}{cccc} 反三角函数 & 三角函数 & 定义域 & 值 域 \\ y = \arcsin (x) & x = \sin (y) & - 1 \leq x \leq 1 & - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2} \\ y = \arccos (x) & x = \cos (y) & - 1 \leq x \leq 1 & 0 \leq y \leq π \\ y = \arctan (x) & x = \tan (y) & - \infty \leq x + \infty & - \frac{π}{2} < y < \frac{π}{2} \\ y = arccot (x) & x = \cot (y) & - \infty \leq x + \infty & 0 < y < π \\ y = arcsec (x) & x = \sec (y) & x \leq - 1 or 1 \leq x & 0 \leq y < \frac{π}{2} or \frac{π}{2} < y \leq π \\ y = arccsc (x) & x = \csc (y) & x \leq - 1 or 1 \leq x & - \frac{π}{2} \leq y < 0 or 0 < y \leq \frac{π}{2} \end{array}

二、反三角函数的导数的推导过程

反函数求导公式在另一篇笔记里已经回顾过：关于反函数的高阶导数

反函数的导

\begin{array}{cccc} 反三角函数 & 三角函数 & 定义域 & 值 域 \\ y = \arcsin (x) & x = \sin (y) & - 1 \leq x \leq 1 & - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2} \\ y = \arccos (x) & x = \cos (y) & - 1 \leq x \leq 1 & 0 \leq y \leq π \\ y = \arctan (x) & x = \tan (y) & - \infty \leq x + \infty & - \frac{π}{2} < y < \frac{π}{2} \\ y = arccot (x) & x = \cot (y) & - \infty \leq x + \infty & 0 < y < π \\ y = arcsec (x) & x = \sec (y) & x \leq - 1 or 1 \leq x & 0 \leq y < \frac{π}{2} or \frac{π}{2} < y \leq π \\ y = arccsc (x) & x = \csc (y) & x \leq - 1 or 1 \leq x & - \frac{π}{2} \leq y < 0 or 0 < y \leq \frac{π}{2} \end{array}

数。

先给结论：

表2. 反三角函数的导数及其定义域

\begin{array}{cccc} 反三角函数 & 三角函数 & 定义域 & 值 域 \\ y = \arcsin (x) & x = \sin (y) & - 1 \leq x \leq 1 & - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2} \\ y = \arccos (x) & x = \cos (y) & - 1 \leq x \leq 1 & 0 \leq y \leq π \\ y = \arctan (x) & x = \tan (y) & - \infty \leq x + \infty & - \frac{π}{2} < y < \frac{π}{2} \\ y = arccot (x) & x = \cot (y) & - \infty \leq x + \infty & 0 < y < π \\ y = arcsec (x) & x = \sec (y) & x \leq - 1 or 1 \leq x & 0 \leq y < \frac{π}{2} or \frac{π}{2} < y \leq π \\ y = arccsc (x) & x = \csc (y) & x \leq - 1 or 1 \leq x & - \frac{π}{2} \leq y < 0 or 0 < y \leq \frac{π}{2} \end{array}

接下来依次证明：

1、反正弦函数

的导数

2、反余弦函数

的导数

证法I： 类似推导

证法II：由

，于是

3、反正切函数

的导数

4、反余切函数

的导数

证法I：类似3，略。

证法II： 类似2，由

，于是

5、反正割函数

的导数

标

\begin{array}{cccc} 反三角函数 & 三角函数 & 定义域 & 值 域 \\ y = \arcsin (x) & x = \sin (y) & - 1 \leq x \leq 1 & - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2} \\ y = \arccos (x) & x = \cos (y) & - 1 \leq x \leq 1 & 0 \leq y \leq π \\ y = \arctan (x) & x = \tan (y) & - \infty \leq x + \infty & - \frac{π}{2} < y < \frac{π}{2} \\ y = arccot (x) & x = \cot (y) & - \infty \leq x + \infty & 0 < y < π \\ y = arcsec (x) & x = \sec (y) & x \leq - 1 or 1 \leq x & 0 \leq y < \frac{π}{2} or \frac{π}{2} < y \leq π \\ y = arccsc (x) & x = \csc (y) & x \leq - 1 or 1 \leq x & - \frac{π}{2} \leq y < 0 or 0 < y \leq \frac{π}{2} \end{array}

步的写法可以保证这一不等关系始终成立。

6、反余割函数

的导数

证法I：类似5，略。

证法II： 类似2，由

，于是

小结

本文简单总结了反三角函数的定义、其对应的三角函数、其定义域、值域，其后利用反函数求导法则完成了所有反函数求导公式的推导证明。不难看出上述推导过程其实都并不复杂（除反正割、反余割函数外），若能熟练使用各种三角函数变换技巧则能轻松完成所有证明。在实际使用三角函数时，图1,图2给出的图示十分有用，尤其在考虑积分换元时。另外，在使用反三角函数时，一定要明确各个三角函数的定义域及值域，这一点在第5个证明中体现得较为明显。若忽视这些细节，则十分容易出错。

引用https://zhuanlan.zhihu.com/p/201720785