【DP】LeetCode 1143. 最长公共子序列

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1143. 最长公共子序列

思路

分析动态规划题目的时候只需要考虑最后一个阶段，因为所有的阶段转化都是相同的，考虑最后一个阶段容易发现规律

在数组的动态规划问题中，一般 dp[i] 都是表示以 nums 以前 i 个元素组成（即 nums[i - 1]）的状态；dp[i][j] 分别表示以 nums1 前 i 个元素（即 nums1[i - 1]）组成和以 nums2 前 j 个元素（即 nums2[j - 1]）组成的状态，以此类推

字符串也是个数组，是字符数组

表示状态

状态表示就是靠猜，但是会有猜的套路，一般都是通过最终结果和数组数量来猜

使用 $dp[i][j]$ 表示 $nums1$ 前 i 个元素和 $nums2$ 前 j 个元素中最长的公共子序列长度

找状态转移方程

思考的方向是：大问题的最优解怎么由小问题的最优解得到

因为是找公共子序列，那么很显然要有判断字符是否相等的过程，那么我们可以分为两种情况讨论：

1. $s1[i]=s2[j]$ : $dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1$。代表必然使用 s1[i] 与 s2[j] 时 LCS 的长度。
2. $s1[i]\ne s2[j]$ : $dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])$。代表必然不使用 $s1[i]$ （但可能使用 $s2[j]$）和必然不使用 $s2[j]$（但可能使用 $s1[i]$）时 LCS 的长度。

所以状态转移方程为：

$$dp[i][j]=\{\begin{array}{rlr}& dp[i-1][j-1]+1,& s[i]=s[j],\\ & max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]),& s[i]\ne s[j].\end{array}$$

边界处理

整个 dp 数组初始化为0

代码

dp数组版

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int n1 = text1.length();
        int n2 = text2.length();
        int[][] dp = new int[n1 + 1][n2 + 1];

        for(int i = 1; i <= n1; i++){
            for(int j = 1; j <= n2; j++){
                if(text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }else{
                    // s1[i] != s2[j] 表示:必然不使用 s1[i] (但可能使用 s2[j])或者必然不使用 s2[j] (但可能使用 s1[i])
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }

        return dp[n1][n2];
    }
}