【DP】LeetCode 718. 最长重复子数组

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718. 最长重复子数组

思路

分析动态规划题目的时候只需要考虑最后一个阶段，因为所有的阶段转化都是相同的，考虑最后一个阶段容易发现规律

在数组的动态规划问题中，一般 dp[i] 都是表示以 nums 以第 i 个元素组成（即 nums[i - 1]）的状态；dp[i][j] 分别表示以 nums1 前 i 个元素（即 nums1[i - 1]）组成和以 nums2 前 j 个元素（即 nums2[j - 1]）组成的状态，以此类推

字符串也是个数组，是字符数组

表示状态

状态表示就是靠猜，但是会有猜的套路，一般都是通过最终结果和数组数量来猜

看到题目有两个数组，根据上文，我们很容易想到使用 $dp[i][j]$ 表示以 nums1 前 i 个元素和 nums2 前 j 个元素 组成的最长公共子数组长度

找状态转移方程

思考的方向是：大问题的最优解怎么由小问题的最优解得到

我们要求 $dp[i][j]$，那么我们就需要想想它怎么和之前的 $dp$ 元素联系起来。

最容易想到的一点是：如果 $nums1[i-1]=nums2[j-1]$，那么相当于在 $dp[i-1][j-1]$ 的基础上再 +1，即

$$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1,nums1[i-1]=nums2[j-1]$$

那如果不相等呢？我们仔细想一想：在这个问题中，我们求的最长子数组长度，实际上是遍历过程中最长公共后缀的长度

比如在样例中：

$$nums1=[1,2,3,2,1],nums2=[3,2,1,4,7]$$

它的最长公共部分 $[3,2,1]$ 实际上是 $[1,2,3,2,1],[3,2,1]$ 的两个后缀

也就是说在我们遍历整个 $dp$ 数组的过程中，我们只需要对有公共后缀的部分（即 $nums1[i-1]=nums2[j-1]$ 部分）操作

这样我们就得出了最终的状态转移方程：

$$dp[i][j]=\{\begin{array}{rlr}& dp[i-1][j-1]+1,& nums1[i-1]=nums2[j-1],\\ & nothing,& nums1[i-1]\ne nums2[j-1].\end{array}$$

边界处理

将 $dp$ 数组初始化为0即可

空间优化

代码

dp数组版

class Solution {
    public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
        int n1 = nums1.length;
        int n2 = nums2.length;
        int[][] dp = new int[n1 + 1][n2 + 1];
        int result = 0;

        for(int i = 1; i <= n1; i++){
            for(int j = 1; j <= n2; j++){
                if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1]){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                    result = Math.max(result, dp[i][j]);
                }
            }
        }

        return result;
    }
}

空间优化版