【DP】LeetCode 剑指 Offer 60. n个骰子的点数
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思路
引子
根据概率计算公式，点数 k 出现的概率为
\[P_{(k)}=k \text { 出现的次数/总次数 }
\]
我们很容易算出来 n 个骰子投掷的结果总共有 \(6^n\)种，所以我们只需要再算出来点数 k
出现的次数就能算出来概率。
在动态规划问题中，主要有三个步骤：
- 表示状态
- 找出状态转移方程
- 边界处理
表示状态
动态规划问题中，只用考虑第 n 个阶段。分析问题的状态时，不要分析整体，只分析最后一个阶段即可！因为动态规划问题都是划分为多个阶段的，各个阶段的状态表示都是一样，而我们的最终答案在就是在最后一个阶段。
对于这道题，最后一个阶段是什么呢？
通过题目我们知道一共投掷 n 枚骰子，那最后一个阶段很显然就是：当投掷完 n 枚骰子后，各个点数出现的次数。
可以看到在 dp 数组中要表示的元素有以下三种：
- 骰子的个数
- 点数
- 点数出现的次数
根据这个思路很容易想到使用二维数组来存储前两个元素，对应的值为第三个元素。即 \(dp[n][j]\) 的含义为 n 个骰子投出点数为 j 的次数。注意这里的点数指的是点数之和，而不是单个的点数
找状态转移方程
在找状态转移方程的时候还是只用考虑最后一个阶段，即 n 个骰子的结果怎么由 n-1 个骰子的结果转移过来。
可以将 n 个骰子的投掷结果视为在 n-1 个骰子的基础上多投掷了一个骰子，然后把这个骰子与 n-1 个骰子的对应情况进行枚举相加。用公式表示就是
\[d p[n][j]=\sum_{i=1}^6 d p[n-1][j-i],i \in \{1,2,3,4,5,6\}
\]
这样我们就构建出了条件转移方程。
边界处理
接下来就需要找出 dp 数组的初始状态。
我们可以直接知道的状态是啥，就是第一阶段的状态：投掷完1枚骰子后，它的可能点数分别为 \(1,2,3,\dots,6\)，并且每个点数出现的次数都是1。即
\[dp[1][i]=1,i \in \{1,2,3,4,5,6\}
\]
空间优化
通过状态转移方程可以看到 \(dp[n]\) 只与 \(dp[n-1]\) 有关，所以可以设置两个一维数组 current 和 pre 分别代表 \(dp[n]\) 与 \(dp[n-1]\)。不断滚动更新。
代码
dp 数组版本
class Solution {
public double[] dicesProbability(int n) {
// 在做 dp 题目的时候只需要考虑最终状态即可,比较容易写出状态表达式和状态转移方程
// dp[i][j] 表示投掷完 i+1 个骰子之后,点数 j 出现的次数
// dp[n][j] = sum(dp[n-1][j-i]) 其中 i = (1,2,3,4,5,6)
double[] result = new double[n * 6 - n + 1];
int[][] dp = new int[n + 1][n * 6 + 1];
for(int i = 1; i <= 6; i++){
dp[1][i] = 1;
}
for(int i = 2; i <= n; i++){
for(int j = i; j <= 6 * i; j++){
for(int k = 1; k <= 6 && k <= j; k++){
dp[i][j] += dp[i - 1][j - k];
}
}
}
int index = 0;
for(int i = n; i <= 6 * n; i++, index++){
result[index] = 1.0 * dp[n][i] / Math.pow(6, n);
}
return result;
}
}
空间优化版本
class Solution {
public double[] dicesProbability(int n) {
// 在做 dp 题目的时候只需要考虑最终状态即可,比较容易写出状态表达式和状态转移方程
// dp[i][j] 表示投掷完 i+1 个骰子之后,点数 j 出现的次数
// dp[n][j] = sum(dp[n-1][j-k]) 其中 k = (1,2,3,4,5,6)
double[] result = new double[n * 6 - n + 1];
int[] pre = new int[n * 6 + 1];
int[] current = new int[n * 6 + 1];
for(int i = 1; i <= 6; i++){
pre[i] = 1;
}
for(int i = 2; i <= n; i++){
for(int j = i; j <= 6 * i; j++){
for(int k = 1; k <= 6 && k <= j; k++){
current[j] += pre[j - k];
}
}
pre = Arrays.copyOf(current, current.length);
Arrays.fill(current, 0);
}
int index = 0;
for(int i = n; i <= 6 * n; i++, index++){
result[index] = 1.0 * pre[i] / Math.pow(6, n);
}
return result;
}
}
