【DP】LeetCode 剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字

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剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字

思路

经典约瑟夫环问题，可以使用找规律的方法进行解决。

以 n = 8, m = 3为例，下面这幅图展示了模拟执行的全过程，用 F(n,m) 表示最后存活的人的索引。

从8个人开始，每次杀掉一个人，去掉被杀的人，然后把杀掉那个人之后的第一个人作为开头重新编号

• 第一次C被杀掉，人数变成7，D作为开头，（最终活下来的G的编号从6变成3）
• 第二次F被杀掉，人数变成6，G作为开头，（最终活下来的G的编号从3变成0）
• 第三次A被杀掉，人数变成5，B作为开头，（最终活下来的G的编号从0变成3）

以此类推，当只剩一个人时，他的编号必定为0！（重点！）

下图展示了通过 F(7,3) 反推 F(8,3) 的过程。

通过图中过程可以看到，如果我们知道了 F(7,3) 的值，那么可以反推出 F(8,3) 的值。而如果要知道 F(7,3) 的值，我们只需要知道 F(6,3) 的值。

以此类推，有一项值是我们已经知道的，即 F(1,3) = 0。

所以可以写出递推公式

$$f(n,m)=\{\begin{array}{ll}0& n=1\\ [f(n-1,m)+m]\mathrm{\%}n& n>1\end{array}$$

因为 m是给定且不变的，我们就简写成 f(n)

并且 f(n) 只与 f(n-1)有关，所以可以把 f(n-1) 记录为一个单变量 pre，通过不断更新 pre 来达到计算最终结果的目的。

代码

class Solution {
    public int lastRemaining(int n, int m) {
        int pre = 0;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            pre = (pre + m) % i;
        }

        return pre;
    }
}