2022秋 矩阵论考试准备
2021秋 矩阵论考试知识点
- 求广义逆
- 证明满秩分解定理，会求满秩分解
- 求子空间维数和基
- 求线性变换在某一个基下的矩阵
- 证正规阵并求酉阵
- 求奇异值分解
- 证明子空间相等
分章节知识点（从ppt4开始）
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两个子空间的和与直和；子空间维数和基例题
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多个子空间的和与直和；证明线性变换
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象子空间及其维数\(\text{dim R(T)}\)，即秩，以及核子空间及其维数\(dim N(T)\)，即亏；求秩与亏
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求线性变化T在基\(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\)下的矩阵；线性变化矩阵和基的关系
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标准正交基概念
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施密特正交化；正交变换；
验证T为线性变换：1.T(x+y) = Tx+Ty 2.T(kx)=kTx
验证T为正交变换：（Tx, Ty）= （x, y）
验证T为对称变换：(Tx,y) = (x, Ty)
酉空间的点乘规律
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酉阵特征根模为1，不同特征根的特征向量彼此正交；
满足\(A^{\mathrm{H}} A=A A^{\mathrm{H}}\)则为正规阵；四种正规阵
证正规阵并求酉阵
- 求特征值和特征向量，单位化特征向量
- 单位化后\(P=\left(\varepsilon_1^{\prime}, \varepsilon_2^{\prime}, \varepsilon_3^{\prime}\right)\)
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证明满秩分解定理
求解满秩分解
- 化为最简阶梯阵
- 原矩阵阶梯所在列构成B
- 阶梯阵前r(A)行构成C
- A=BC
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奇异值的定义：\(\mathrm{A}^{\mathrm{H}} \mathrm{A}\)的非0特征根从大到小排列开根号，若A是正规阵，则奇异值就是A特征值的绝对值；
奇异值分解(SVD) \(A=UDV^H\)，其中U为m阶，V为n阶
- \(D=\left[\begin{array}{ll}\Sigma & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\) \(\Sigma=\operatorname{diag}\left(\sigma_1, \sigma_2, \cdots, \sigma_r\right)\)
- U的列向量是\(AA^H\)的特征向量
- V的列向量是\(A^H A\)的特征向量
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求广义逆矩阵
- 用满秩分解求
- 用奇异值分解求
向量范数
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向量范数概念；霍德尔不等式；求向量范数；向量范数的等价性定理；方阵范数概念
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范数证明题；矩阵函数计算；矩阵的相似对角化
