2022秋 矩阵论考试准备

2021秋 矩阵论考试知识点

1. 求广义逆
2. 证明满秩分解定理，会求满秩分解
3. 求子空间维数和基
4. 求线性变换在某一个基下的矩阵
5. 证正规阵并求酉阵
6. 求奇异值分解
7. 证明子空间相等

分章节知识点（从ppt4开始）

4. 两个子空间的和与直和；子空间维数和基例题

5. 多个子空间的和与直和；证明线性变换

6. 象子空间及其维数$\text{dim R(T)}$，即秩，以及核子空间及其维数$dimN(T)$，即亏；求秩与亏

7. 求线性变化T在基${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$下的矩阵；线性变化矩阵和基的关系

8. 标准正交基概念

9. 施密特正交化；正交变换；

   验证T为线性变换：1.T(x+y) = Tx+Ty 2.T(kx)=kTx

   验证T为正交变换：（Tx, Ty）= （x, y）

   验证T为对称变换：(Tx,y) = (x, Ty)

   酉空间的点乘规律

10. 酉阵特征根模为1，不同特征根的特征向量彼此正交；

    满足$A^{\mathrm{H}}A=A{A}^{\mathrm{H}}$则为正规阵；四种正规阵

    证正规阵并求酉阵

    • 求特征值和特征向量，单位化特征向量
    • 单位化后$P=({\epsilon }_1^{\prime },{\epsilon }_2^{\prime },{\epsilon }_3^{\prime })$

11. 证明满秩分解定理

    求解满秩分解

    • 化为最简阶梯阵
    • 原矩阵阶梯所在列构成B
    • 阶梯阵前r(A)行构成C
    • A=BC

12. 奇异值的定义：${\mathrm{A}}^{\mathrm{H}}\mathrm{A}$的非0特征根从大到小排列开根号，若A是正规阵，则奇异值就是A特征值的绝对值；

    奇异值分解(SVD) $A=UD{V}^H$，其中U为m阶，V为n阶

    • $D=\left[\begin{array}{ll}\mathrm{\Sigma }& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ $\mathrm{\Sigma }=\mathrm{diag}({\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_r)$
    • U的列向量是$A{A}^H$的特征向量
    • V的列向量是$A^{H}A$的特征向量

13. 求广义逆矩阵

    • 用满秩分解求
    • 用奇异值分解求

    向量范数

14. 向量范数概念；霍德尔不等式；求向量范数；向量范数的等价性定理；方阵范数概念

15. 范数证明题；矩阵函数计算；矩阵的相似对角化