深度解读最流行的优化算法：梯度下降（精简版）

前言

本文仅对一些常见的优化方法进行直观介绍和简单的比较，各种优化方法的详细内容及公式只好去认真啃论文了，在此不赘述。

SGD

此处的SGD指mini-batch gradient descent，关于batch gradient descent, stochastic gradient descent, 以及 mini-batch gradient descent的具体区别就不细说了。现在的SGD一般都指mini-batch gradient descent。

SGD就是每一次迭代计算mini-batch的梯度，然后对参数进行更新，是最常见的优化方法了。即：

$g_t=\nabla_{\theta_{t-1}}{f(\theta_{t-1})}$

$\Delta{\theta_t}=-\eta*g_t$

其中， $\eta$ 是学习率， $g_t$ 是梯度 SGD完全依赖于当前batch的梯度，所以 $\eta$ 可理解为允许当前batch的梯度多大程度影响参数更新

缺点：（正因为有这些缺点才让这么多大神发展出了后续的各种算法）

选择合适的learning rate比较困难 - 对所有的参数更新使用同样的learning rate。对于稀疏数据或者特征，有时我们可能想更新快一些对于不经常出现的特征，对于常出现的特征更新慢一些，这时候SGD就不太能满足要求了

SGD容易收敛到局部最优，并且在某些情况下可能被困在鞍点【原来写的是“容易困于鞍点”，经查阅论文发现，其实在合适的初始化和step size的情况下，鞍点的影响并没这么大。感谢@冰橙的指正】

Momentum

momentum是模拟物理里动量的概念，积累之前的动量来替代真正的梯度。公式如下：

$m_t=\mu*m_{t-1}+g_t$

$\Delta{\theta_t}=-\eta*m_t$

其中， $\mu$ 是动量因子

特点：

下降初期时，使用上一次参数更新，下降方向一致，乘上较大的 $\mu$ 能够进行很好的加速
下降中后期时，在局部最小值来回震荡的时候， $gradient\to0$ ， $\mu$ 使得更新幅度增大，跳出陷阱
在梯度改变方向的时候， $\mu$ 能够减少更新总而言之，momentum项能够在相关方向加速SGD，抑制振荡，从而加快收敛

Nesterov

nesterov项在梯度更新时做一个校正，避免前进太快，同时提高灵敏度。将上一节中的公式展开可得：

$\Delta{\theta_t}=-\eta*\mu*m_{t-1}-\eta*g_t$

可以看出， $m_{t-1}$ 并没有直接改变当前梯度 $g_t$ ，所以Nesterov的改进就是让之前的动量直接影响当前的动量。即：

$g_t=\nabla_{\theta_{t-1}}{f(\theta_{t-1}-\eta*\mu*m_{t-1})}$

$m_t=\mu*m_{t-1}+g_t$

$\Delta{\theta_t}=-\eta*m_t$

所以，加上nesterov项后，梯度在大的跳跃后，进行计算对当前梯度进行校正。如下图：

momentum首先计算一个梯度(短的蓝色向量)，然后在加速更新梯度的方向进行一个大的跳跃(长的蓝色向量)，nesterov项首先在之前加速的梯度方向进行一个大的跳跃(棕色向量)，计算梯度然后进行校正(绿色梯向量)

其实，momentum项和nesterov项都是为了使梯度更新更加灵活，对不同情况有针对性。但是，人工设置一些学习率总还是有些生硬，接下来介绍几种自适应学习率的方法

Adagrad

Adagrad其实是对学习率进行了一个约束。即：

$n_t=n_{t-1}+g_t^2$

$\Delta{\theta_t}=-\frac{\eta}{\sqrt{n_t+\epsilon}}*g_t$

此处，对 $g_t$ 从1到 $t$ 进行一个递推形成一个约束项regularizer， $-\frac{1}{\sqrt{\sum_{r=1}^t(g_r)^2+\epsilon}}$ ， $\epsilon$ 用来保证分母非0

特点：

前期 $g_t$ 较小的时候， regularizer较大，能够放大梯度
后期 $g_t$ 较大的时候，regularizer较小，能够约束梯度
适合处理稀疏梯度

缺点：

由公式可以看出，仍依赖于人工设置一个全局学习率
$\eta$ 设置过大的话，会使regularizer过于敏感，对梯度的调节太大
中后期，分母上梯度平方的累加将会越来越大，使 $gradient\to0$ ，使得训练提前结束

Adadelta

Adadelta是对Adagrad的扩展，最初方案依然是对学习率进行自适应约束，但是进行了计算上的简化。 Adagrad会累加之前所有的梯度平方，而Adadelta只累加固定大小的项，并且也不直接存储这些项，仅仅是近似计算对应的平均值。即：

$n_t=\nu*n_{t-1}+(1-\nu)*g_t^2$

$\Delta{\theta_t} = -\frac{\eta}{\sqrt{n_t+\epsilon}}*g_t$

在此处Adadelta其实还是依赖于全局学习率的，但是作者做了一定处理，经过近似牛顿迭代法之后：

$E|g^2|_t=\rho*E|g^2|_{t-1}+(1-\rho)*g_t^2$

$\Delta{x_t}=-\frac{\sqrt{\sum_{r=1}^{t-1}\Delta{x_r}}}{\sqrt{E|g^2|_t+\epsilon}}$

其中， $E$ 代表求期望。

此时，可以看出Adadelta已经不用依赖于全局学习率了。

特点：

训练初中期，加速效果不错，很快
训练后期，反复在局部最小值附近抖动

RMSprop

RMSprop可以算作Adadelta的一个特例：

当 $\rho=0.5$ 时， $E|g^2|_t=\rho*E|g^2|_{t-1}+(1-\rho)*g_t^2$ 就变为了求梯度平方和的平均数。

如果再求根的话，就变成了RMS(均方根)：

$RMS|g|_t=\sqrt{E|g^2|_t+\epsilon}$

此时，这个RMS就可以作为学习率 $\eta$ 的一个约束：

$\Delta{x_t}=-\frac{\eta}{RMS|g|_t}*g_t$

特点：

其实RMSprop依然依赖于全局学习率
RMSprop算是Adagrad的一种发展，和Adadelta的变体，效果趋于二者之间
适合处理非平稳目标 - 对于RNN效果很好

Adam

Adam(Adaptive Moment Estimation)本质上是带有动量项的RMSprop，它利用梯度的一阶矩估计和二阶矩估计动态调整每个参数的学习率。Adam的优点主要在于经过偏置校正后，每一次迭代学习率都有个确定范围，使得参数比较平稳。公式如下：

$m_t=\mu*m_{t-1}+(1-\mu)*g_t$

$n_t=\nu*n_{t-1}+(1-\nu)*g_t^2$

$\hat{m_t}=\frac{m_t}{1-\mu^t}$

$\hat{n_t}=\frac{n_t}{1-\nu^t}$

$\Delta{\theta_t}=-\frac{\hat{m_t}}{\sqrt{\hat{n_t}}+\epsilon}*\eta$

其中， $m_t$ ， $n_t$ 分别是对梯度的一阶矩估计和二阶矩估计，可以看作对期望 $E|g_t|$ ， $E|g_t^2|$ 的估计； $\hat{m_t}$ ， $\hat{n_t}$ 是对 $m_t$ ， $n_t$ 的校正，这样可以近似为对期望的无偏估计。可以看出，直接对梯度的矩估计对内存没有额外的要求，而且可以根据梯度进行动态调整，而 $-\frac{\hat{m_t}}{\sqrt{\hat{n_t}}+\epsilon}$ 对学习率形成一个动态约束，而且有明确的范围。

特点：

结合了Adagrad善于处理稀疏梯度和RMSprop善于处理非平稳目标的优点
对内存需求较小
为不同的参数计算不同的自适应学习率
也适用于大多非凸优化 - 适用于大数据集和高维空间

Adamax

Adamax是Adam的一种变体，此方法对学习率的上限提供了一个更简单的范围。公式上的变化如下：

$n_t=max(\nu*n_{t-1},|g_t|)$

$\Delta{x}=-\frac{\hat{m_t}}{n_t+\epsilon}*\eta$

可以看出，Adamax学习率的边界范围更简单

Nadam

Nadam类似于带有Nesterov动量项的Adam。公式如下：

$\hat{g_t}=\frac{g_t}{1-\Pi_{i=1}^t\mu_i}$

$m_t=\mu_t*m_{t-1}+(1-\mu_t)*g_t$

$\hat{m_t}=\frac{m_t}{1-\Pi_{i=1}^{t+1}\mu_i}$

$n_t=\nu*n_{t-1}+(1-\nu)*g_t^2$

$\hat{n_t}=\frac{n_t}{1-\nu^t}$ $\bar{m_t}=(1-\mu_t)*\hat{g_t}+\mu_{t+1}*\hat{m_t}$

$\Delta{\theta_t}=-\eta*\frac{\bar{m_t}}{\sqrt{\hat{n_t}}+\epsilon}$