最小生成树-Prim算法和Kruskal算法
Prim算法
1.概览
普里姆算法 （Prim 算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点
2.算法简单描述
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
3).重复下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew 中的元素，而v不在Vnew 集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
b.将v加入集合Vnew 中，将<u, v>边加入集合Enew 中；
4).输出：使用集合Vnew 和Enew 来描述所得到的最小生成树。
下面对算法的图例描述
| 图例 | 说明 | 不可选 | 可选 | 已选（Vnew ） |
|---|---|---|---|---|
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此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 | - | - | - |
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顶点D 被任意选为起始点。顶点A 、B 、E 和F 通过单条边与D 相连。A 是距离D 最近的顶点，因此将A 及对应边AD 以高亮表示。 | C, G | A, B, E, F | D |
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下一个顶点为距离D 或A 最近的顶点。B 距D 为9，距A 为7，E 为15，F 为6。因此，F 距D 或A 最近，因此将顶点F 与相应边DF 以高亮表示。 | C, G | B, E, F | A, D |
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算法继续重复上面的步骤。距离A 为7的顶点B 被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F |
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在当前情况下，可以在C 、E 与G 间进行选择。C 距B 为8，E 距B 为7，G 距F 为11。E 最近，因此将顶点E 与相应边BE 高亮表示。 | 无 | C, E, G | A, D, F, B |
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这里，可供选择的顶点只有C 和G 。C 距E 为5，G 距E 为9，故选取C ，并与边EC 一同高亮表示。 | 无 | C, G | A, D, F, B, E |
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顶点G 是唯一剩下的顶点，它距F 为11，距E 为9，E 最近，故高亮表示G 及相应边EG 。 | 无 | G | A, D, F, B, E, C |
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现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。 | 无 | 无 | A, D, F, B, E, C, G |
3.简单证明prim算法
反证法：假设prim生成的不是最小生成树
1).设prim生成的树为G0
2).假设存在Gmin 使得cost(Gmin )<cost(G0 ) 则在Gmin 中存在<u,v>不属于G0
3).将<u,v>加入G0 中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin )
4).这与prim每次生成最短边矛盾
5).故假设不成立，命题得证.
5.时间复杂度
这里记顶点数v，边数e
邻接矩阵:O(v2 ) 邻接表:O(elog2 v)
Kruskal算法
1.概览
Kruskal算法 是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
2.算法简单描述
1).记Graph中有v个顶点，e个边
2).新建图Graphnew ，Graphnew 中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节点于图Graphnew 中不在同一个连通分量中
添加这条边到图Graphnew 中
图例描述：
首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边
将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。
下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
3.简单证明Kruskal算法
对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。
归纳基础：
n=1，显然能够找到最小生成树。
归纳过程：
假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。
我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。
用反证法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>}) 。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T') ，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})， 产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。
由数学归纳法，Kruskal算法得证。
时间复杂度：elog2 e e为图中的边数。
