线性方程组（一） LU分解

《数值分析与科学计算》的第二章便是讲求解线性方程组，权当对学了一个暑假的线代的总结。

 

1、LU分解

其映射简而言之便是这样：

 

用公式表示则是

Ly = b
Ux = y

 

 以下以matlab介绍LU分解

>> A = [8 8 4; 4 2 -1; 2 2 2]
A =

     8     8     4
     4     2    -1
     2     2     2

 8 >> [L,U]= lu(A)
 9 L =
10 
11     1.0000         0         0
12     0.5000    1.0000         0
13     0.2500         0    1.0000
14 
15 U =
16 
17      8     8     4
18      0    -2    -3
19      0     0     1

>> M = lu(A)
M =

    8.0000    8.0000    4.0000
    0.5000   -2.0000   -3.0000
    0.2500         0    1.0000

line8 ~line 19表示为A的LU分解的原位形式；

line21 ~line26表示为A的LU分解的紧凑形式。

 

>> M = lu(A)
M =

    8.0000    8.0000    4.0000
    0.5000   -2.0000   -3.0000
    0.2500         0    1.0000


 9 >> u1 = triu(M)
10 u1 =
11 
12      8     8     4
13      0    -2    -3
14      0     0     1
15 
16 
17 >> l1 = tril(M)
18 l1 =
19 
20     8.0000         0         0
21     0.5000   -2.0000         0
22     0.2500         0    1.0000


>> for  i=1: size(l1,1); l1(i,i)=1;end
>> l1
l1 =

    1.0000         0         0
    0.5000    1.0000         0
    0.2500         0    1.0000

line9 ~line22 表示了从紧凑形式中提取U和L 。然而我们发现了l1提取了整个M的下三角，这不是我们想要的结果。

可以通过循环调整l1，获得我们想要的形式(line 27~ line 31) 。

 

使用循环并不是最佳方案

%way 1
>> l1 = tril(M)
l1 =

    8.0000         0         0
    0.5000   -2.0000         0
    0.2500         0    1.0000

>> l1 = l1 - diag(diag(l1)) + eye(size(l1, 1))
l1 =

    1.0000         0         0
    0.5000    1.0000         0
    0.2500         0    1.0000


%way 2
>> l1 = tril(M, -1) + eye(size(l1, 1))
l1 =

    1.0000         0         0
    0.5000    1.0000         0
    0.2500         0    1.0000

 

 

有时候需要选主元再进行LU分解。

便需要左乘算子先进行行变换，再进行LU分解。