严格次小生成树

洛谷4180

模板

倍增LCA+Kruskal

没学过这两个算法没关系，后面有讲解

时间复杂度O(nlog_2n+mlog_2m)

 

 

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
using namespace std;
/*
数据中无向图不保证无自环； 50% 的数据N≤2 000 M≤3 000； 80% 的数据N≤50 000 M≤100 000； 100% 的数据N≤100 000 M≤300 000 ，边权值非负且不超过 10^9 。
*/
const int maxn=1e5+10;
const int maxm=3e5+10;
const int INF=0x3fffffff;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
struct edge{
	int from,to;
	LL w;
}ed[maxm];
struct node{
	int nex,to;
	LL w;
}e[maxn<<1];
bool cmp(edge a,edge b){
	return a.w<b.w;
}
int tot;
int head[maxn];
void adde(int x,int y,LL w){
	e[++tot].nex=head[x];
	e[tot].to=y;
	e[tot].w=w;
	head[x]=tot;
}
int n,m,fa[maxn],f[maxn][21],dep[maxn];
//倍增LCA+Kruskal
LL mx1[maxn][21],mx2[maxn][21],ans,mst;
bool vis[maxm];
int findfa(int x){
	if(x==fa[x]) return x;
	else return fa[x]=findfa(fa[x]);
}
void kruskal(){ //先求出最小生成树 
	sort(ed+1,ed+1+m,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
	for(int i=1,sum=n;i<=m;i++){
		if(sum==1) break;
		int x=findfa(ed[i].from);
		int y=findfa(ed[i].to);
		if(x==y) continue;
		vis[i]=1;
		mst+=ed[i].w;
		fa[x]=y;
		sum--;
		//在这里建边 
		adde(ed[i].from,ed[i].to,ed[i].w);
		adde(ed[i].to,ed[i].from,ed[i].w);
	}
}
//再倍增的时候更新最小次小 
void update(LL &max1,LL &max2,LL x,LL y){
	if(max1==x) max2=max(max2,y);
	else if(max1<x){
		max2=max1;
		max1=x;
		max2=max(max2,y);
	}
	else max2=max(max2,x);
}

void dfs(int u,int fa){
	for(int i=1;i<=20;i++){
		f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1]; //倍增
		mx1[u][i]=mx1[u][i-1];
		mx2[u][i]=mx2[u][i-1];
		//mx1[u][i]需要在 mx1[u][i-1] 和 mx1[f[u][i-1]][i-1]之间比较
		//mx2也是同理
		//注意比较的顺序（上面 
		update(mx1[u][i],mx2[u][i],mx1[f[u][i-1]][i-1],mx2[f[u][i-1]][i-1]); 
	}
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nex){
		int v=e[i].to;
		if(v==fa) continue;
		dep[v]=dep[u]+1;
		f[v][0]=u;
		mx1[v][0]=e[i].w;  //最大的初始值 
		dfs(v,u);   //在后面递归 
	}
}

typedef pair<LL,LL> p; 

p LCA(int x,int  y){
	LL max1=0,max2=0;
	if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for(int i=20;i>=0;i--){
		if(dep[f[x][i]]>=dep[y]){
			update(max1,max2,mx1[x][i],mx2[x][i]);
			x=f[x][i];
		}
	}
	if(x==y) return make_pair(max1,max2); //返回这条路上的最大和次大值 
	for(int i=20;i>=0;i--){
		if(f[x][i]!=f[y][i]){
			update(max1,max2,mx1[x][i],mx2[x][i]);
			update(max1,max2,mx2[y][i],mx2[y][i]);
			x=f[x][i];
			y=f[y][i];
		}
	} 
	update(max1,max2,mx1[x][0],mx2[x][0]);
	update(max1,max2,mx1[y][0],mx2[y][0]);
	return make_pair(max1,max2);
}

void sol(){
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d %d %lld",&ed[i].from,&ed[i].to,&ed[i].w);
	}
	kruskal();
	dfs(1,0); //求出倍增数组 
}

void solve(){
	ans=INF;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(!vis[i]){
			p temp=LCA(ed[i].from,ed[i].to);
			if(ed[i].w==temp.first&&temp.second) ans=min(ans,ed[i].w-temp.second);
			else if(ed[i].w>temp.first) ans=min(ans,ed[i].w-temp.first);
		}
	}
	printf("%lld",ans+mst);
} 



int main(){
	sol();
	solve();
return 0;
}


#include <bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
const int maxe=3e5+10;
typedef pair<long long,long long> P;

inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch;
	do{ch=getchar();if(ch=='-')f=-1;}while(!isdigit(ch));
	do{x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}while(isdigit(ch));
	return f*x;
}

struct rec{
	int from,to;
	long long w;
}edge[maxe];
bool cmp(const rec &a,const rec &b){return a.w<b.w;}
struct node{
	int nxt,to;
	long long w;
}e[maxn<<1];
int tot=1,head[maxn];
inline void add_edge(int from,int to,long long w){
	e[++tot]=node{head[from],to,w},head[from]=tot;
}

int n,m,fa[maxn],f[maxn][21],dep[maxn];
long long mx1[maxn][21],mx2[maxn][21],ans,mst;
bool used[maxe];

int find(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);}

void kruskal(){
	sort(edge+1,edge+m+1,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
	for(int i=1,sum=n;i<=m;i++){
		if(sum==1)break;
		int x=find(edge[i].from),y=find(edge[i].to);
		if(x!=y){
			used[i]=1,mst+=edge[i].w,fa[x]=y,--sum;
			add_edge(edge[i].from,edge[i].to,edge[i].w);
			add_edge(edge[i].to,edge[i].from,edge[i].w);
		}
	}
}

inline void upd(long long &max1,long long &max2,long long x,long long y){
	if(max1==x)max2=max(max2,y);
	else if(max1<x)max2=max1,max1=x,max2=max(max2,y);
	else max2=max(max2,x);
}

void dfs(int u,int fa){
	for(int i=1;i<=20;i++){
		f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
		mx1[u][i]=mx1[u][i-1],mx2[u][i]=mx2[u][i-1];
		upd(mx1[u][i],mx2[u][i],mx1[f[u][i-1]][i-1],mx2[f[u][i-1]][i-1]);
	}
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to;if(v==fa)continue;
		dep[v]=dep[u]+1,f[v][0]=u,mx1[v][0]=e[i].w;
		dfs(v,u);
	}
}

P lca(int x,int y){
	long long max1=0,max2=0;
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if(dep[f[x][i]]>=dep[y]){
			upd(max1,max2,mx1[x][i],mx2[x][i]);
			x=f[x][i];
		}
	if(x==y)return mp(max1,max2);
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if(f[x][i]!=f[y][i]){
			upd(max1,max2,mx1[x][i],mx2[x][i]);
			upd(max1,max2,mx1[y][i],mx2[y][i]);
			x=f[x][i],y=f[y][i];
		}
	upd(max1,max2,mx1[x][0],mx2[x][0]);
	upd(max1,max2,mx1[y][0],mx2[y][0]);
	return mp(max1,max2);
}

void read_and_parse(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++)edge[i].from=read(),edge[i].to=read(),edge[i].w=read();
	kruskal();
	dfs(1,0);
}

void solve(){
	ans=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
	for(int i=1;i<=m;i++)if(!used[i]){
		P tmp=lca(edge[i].from,edge[i].to);
		if(edge[i].w==tmp.first&&tmp.second)ans=min(ans,edge[i].w-tmp.second);
		else if(edge[i].w>tmp.first)ans=min(ans,edge[i].w-tmp.first);
	}
	printf("%lld\n",mst+ans);
}

int main(){
	read_and_parse();
	solve();
	return 0;	
}