[题解] P2685 [TJOI2012]桥 思路整理

题目大意

给一张 $n$ 个点 $m$ 条边的图，求删去一条边后最短路长度的最大值与对应删边方案数。

思路

首先考虑，如果删去的这条边不在原图最短路上，那么新图最短路长度与原图一致。

那么为使最短路长度最大，删去的边一定是原图最短路上的边。

如果用黑线表示原图最短路，那么在断掉图中叉掉的边时，新图最短路会长得类似图中蓝线，也就是 从 $1$ 开始沿着原图最短路走一段 - 离开原图最短路 - 回到原图最短路直到到达 $n$。

对于原图最短路上的边依次考虑删去后的答案似乎不大好算（至少菜菜的我只会删去以后重新跑最短路），考虑每条边 $(u,v)$，用 包含它的最短路 去更新 原图最短路每条边对应的答案（新图最短路长度取min），那么答案就是原图最短路每条边答案的最大值和个数。

回到上图，图中蓝线对应的最短路长度可以表示为 $di{s}_{1,u}+(u,v)+di{s}_{v,n}$，也就是边 $(u,v)$ 会对黑线未被蓝线覆盖的那段中的每条边产生这个贡献。

那么为了保证能统计到答案，黑线未被蓝线覆盖的长度肯定要尽可能大，也就是蓝线离开黑线的点要尽可能靠左，回到黑线的点要尽可能靠右。

对于每条边 $i$，记 经过它的最短路 离开 原图最短路 的点为 $L_i$，回到 原图最短路 的点为 $R_i$。$L$ 和 $R$ 可以使用 dfs求出。

那么就对于每条边 $i(u,v)$，用 $di{s}_{1,u}+(u,v)+di{s}_{v,n}$ 在线段树上更新 点 $L_i$ 与点 $R_i$ 之间的边 的答案。