[题解] HDU7060 Separated Number 思路整理

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HDU7060 Separated Number

题目大意

给一个 $n$ 位数，把该数字分成 $k$ 段，每种方案的贡献为其分割出的段的数字之和。求所有分法的贡献之和（对 $998244353$ 取模）。

做法

枚举数位，计算每个数位的贡献。

令这个 $n$ 位数从高到低第 $i$ 位为 $a_{i}$ ，那么可以枚举 $a_{i}$ 属于分割出的哪段数以统计贡献。

设 $a_{i}$ 被分到了 $a_{L}$ ~ $a_{R}$ 段，此时 $a_{i}$ 的贡献为 $a_{i} \times 10^{R - i}$ ，考虑一下情况：

当 $1 < L$ 且 $R < n$ 时，该段左右两边都有其他段，所以相当于余下的 $n - (R - L + 1)$ 位中插入了一块隔板，方案数为 $\sum_{j = 1}^{k - 2} (\binom{n - (R - L + 1) - 1 - 1}{j - 1}) = \sum_{j = 0}^{k - 3} (\binom{n - (R - L + 1) - 2}{j})$ 。
当 $L = 1$ 且 $R = n$ 时，没有剩下的数，方案数为 $1$ 。
当 $L = 1$ 或 $R = n$ 时（ $L$ 、 $R$ 不同时等于 $n$ ），那么只有一边有段，方案即为 $\sum_{j = 1}^{k - 1} (\binom{n - (R - L + 1) - 1}{j - 1}) = \sum_{j = 0}^{k - 2} (\binom{n - (R - L + 1) - 1}{j})$ 。

加起来即为答案。

$a n s_{1} = \sum_{L = 2}^{n - 1} \sum_{R = L}^{n - 1} (\sum_{i = L}^{R} a_{i} \times 10^{R - i}) \times (\sum_{j = 0}^{k - 3} (\binom{n - (R - L + 1) - 2}{j})) (L > 1 \land R < n)$

$a n s_{2} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \times 10^{n - i} (L = 1 \land R = n)$

$a n s_{3} = \sum_{R = 1}^{n - 1} (\sum_{i = 1}^{R} a_{i} 10^{R - i}) \times (\sum_{j = 0}^{k - 2} (\binom{n - R - 1}{j})) (L = 1 \land R < n)$

$a n s_{4} = \sum_{L = 2}^{n} (\sum_{i = L}^{n} a_{i} 10^{n - i}) \times (\sum_{j = 0}^{k - 2} (\binom{L - 2}{j})) (L > 1 \land R = n)$

$a n s = a n s_{1} + a n s_{2} + a n s_{3} + a n s_{4}$

不妨设：

$f (n) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} 10^{- i}$

$g (n) = \sum_{i = 1}^{n} 10^{i} f (i)$

$h (n, m) = \sum_{i = 0}^{m} (\binom{n}{i})$

那么：

$a n s_{1}$

$= \sum_{L = 2}^{n - 1} \sum_{R = L}^{n - 1} (\sum_{i = L}^{R} a_{i} 10^{R - i}) \times (\sum_{j = 0}^{k - 3} (\binom{n - (R - L + 1) - 2}{j}))$

$= \sum_{l e n = 1}^{n - 2} \sum_{R = l e n + 1}^{n - 1} (\sum_{i = R - l e n + 1}^{R} a_{i} 10^{R - i}) \times (\sum_{j = 0}^{k - 3} (\binom{n - l e n - 2}{j}))$

$= \sum_{l e n = 1}^{n - 2} h (n - l e n - 2, k - 3) \sum_{R = l e n + 1}^{n - 1} (\sum_{i = R - l e n + 1}^{R} a_{i} 10^{R - i})$

$= \sum_{l e n = 1}^{n - 2} h (n - l e n - 2, k - 3) \sum_{R = l e n + 1}^{n - 1} 10^{R} (\sum_{i = R - l e n + 1}^{R} a_{i} 10^{- i})$

$= \sum_{l e n = 1}^{n - 2} h (n - l e n - 2, k - 3) \sum_{R = l e n + 1}^{n - 1} 10^{R} (f (R) - f (R - l e n))$

$= \sum_{l e n = 1}^{n - 2} h (n - l e n - 2, k - 3) [(\sum_{R = l e n + 1}^{n - 1} 10^{R} f (R)) - (\sum_{R = l e n + 1}^{n - 1} 10^{R} f (R - l e n))]$

$= \sum_{l e n = 1}^{n - 2} h (n - l e n - 2, k - 3) [(\sum_{R = l e n + 1}^{n - 1} 10^{R} f (R)) - 10^{l e n} (\sum_{R = l e n + 1}^{n - 1} 10^{R - l e n} f (R - l e n))]$

$= \sum_{l e n = 1}^{n - 2} h (n - l e n - 2, k - 3) [g (n - 1) - g (l e n) - 10^{l e n} g (n - 1 - l e n)]$

$a n s_{2}$

$= \sum_{i = 1}^{n} a_{i} 10^{n - i} = 10^{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} 10^{- i} = 10^{n} f (n)$

$a n s_{3}$

$= \sum_{R = 1}^{n - 1} (\sum_{i = 1}^{R} a_{i} 10^{R - i}) \times (\sum_{j = 0}^{k - 2} (\binom{n - R - 1}{j}))$

$= \sum_{R = 1}^{n - 1} 10^{R} (\sum_{i = 1}^{R} a_{i} 10^{- i}) \times h (n - R - 1, k - 2)$

$= \sum_{R = 1}^{n - 1} 10^{R} f (R) \times h (n - R - 1, k - 2)$

$a n s_{4}$

$= \sum_{L = 2}^{n} (\sum_{i = L}^{n} a_{i} 10^{n - i}) \times (\sum_{j = 0}^{k - 2} (\binom{L - 2}{j}))$

$= \sum_{L = 2}^{n} 10^{n} (\sum_{i = L}^{n} a_{i} 10^{- i}) \times h (L - 2, k - 2)$

$= \sum_{L = 2}^{n} 10^{n} (f (n) - f (L - 1)) \times h (L - 2, k - 2)$

不难求出 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，如何求 $h (n, m)$ 呢？

由定义可以发现 $h (n, m)$ 表示的是 $n$ 个位置选不超过 $m$ 个位置的方案数，考虑使用容斥，从 $h (n - 1, m)$ 得到 $h (n, m)$ 。

$h (n, m)$ 是 $1$ ~ $n - 1$ 选不超过 $m$ 个位置的方案数，也是 $2$ ~ $n$ 选不超过 $m$ 个位置的方案数。
两区间相加，重叠部分为 $1$ 、 $n$ 位置都不选， $2$ ~ $n - 1$ 选不超过 $m$ 个位置的方案数，即 $\sum_{i = 0}^{m} (\binom{n - 2}{i})$ 。
缺少部分为 $1$ 、 $n$ 位置都选， $2$ ~ $n - 1$ 选不超过 $m - 2$ 个位置的方案数，即 $\sum_{i = 0}^{m - 2} (\binom{n - 2}{i})$ 。

可得：

$h (n, m)$

$= 2 \times h (n - 1, m) - \sum_{i = 0}^{m} (\binom{n - 2}{i}) + \sum_{i = 0}^{m - 2} (\binom{n - 2}{i})$

$= 2 \times h (n - 1, m) - (\binom{n - 2}{m - 1}) - (\binom{n - 2}{m})$

$= 2 \times h (n - 1, m) - (\binom{n - 1}{m})$

注意到答案式中仅含 $h (w, k - 2)$ 和 $h (w, k - 3)$ ，那么可以分别 $O (n)$ 求出。

$f (n)$ 和 $g (n)$ 也可 $O (n)$ 处理，再 $O (n)$ 计算答案，故总复杂度 $O (n)$ 。

代码

const ll mod = 998244353;
const int N = 1000010, M = 1000000;
int t, n, k, a[N];
char c[N];
ll inv[N], fac[N], finv[N], ten[N], f[N], g[N], h1[N], h2[N];
inline ll C(ll n, ll m) {
	if (m > n) return 0;
	if (m == n || n == 0) return 1;
	return fac[n] * finv[m] % mod * finv[n - m] % mod;
}
inline ll calc() {
	ll res = ten[n] * f[n] % mod;
	if (k == 1) return res;
	for (int R = 1; R <= n - 1; R++) 
		res = (res + ten[R] * f[R] % mod * h1[n - R - 1] % mod) % mod;
	for (int L = 2; L <= n; L++) 
		res = (res + ten[n] * ((f[n] + mod - f[L - 1]) % mod) % mod * h1[L - 2]) % mod;
	if (k == 2) return res;
	for (int len = 1; len <= n - 2; len++)
		res = (res + h2[n - len - 2] * (((g[n - 1] + mod - g[len]) % mod + mod - ten[len] * g[n - 1 - len] % mod) % mod) % mod) % mod;
	return res;
}
int main() {
	fac[0] = fac[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= M; i++) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
	inv[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= M; i++) inv[i] = (mod - (mod / i) * inv[mod % i]) % mod;
	finv[0] = finv[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= M; i++) finv[i] = finv[i - 1] * inv[i] % mod;
	ten[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= M; i++) ten[i] = ten[i - 1] * 10 % mod;	

	t = read();
	while (t--) {
		k = read();
		scanf("%s", c + 1);
		n = strlen(c + 1);
		for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = c[i] ^ 48;
		
		for (int i = 1; i <= n; i++) h1[i] = h2[i] = 0;
		ll iv10 = inv[10];
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			f[i] = (f[i - 1] + iv10 * a[i] % mod) % mod;
			iv10 = iv10 * inv[10] % mod;
		}
		for (int i = 1; i <= n; i++) g[i] = (g[i - 1] + f[i] * ten[i] % mod) % mod;
		h1[0] = h2[0] = 1;
		if (k >= 2)
			for (int i = 1; i <= n; i++) h1[i] = ((h1[i - 1] << 1) % mod + mod - C(i - 1, k - 2)) % mod;
		if (k >= 3)
			for (int i = 1; i <= n; i++) h2[i] = ((h2[i - 1] << 1) % mod + mod - C(i - 1, k - 3)) % mod;
		
		printf("%lld\n", calc());
	}
	return 0;
}