[笔记]概率期望
概率公式
条件概率公式
设\(A,B\)是两个事件，且\(P(B)>0\),则在事件\(B\)发生的条件下，事件\(A\)发生的条件概率为\(P(A|B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}\)
乘法公式
1.由条件概率公式得\(P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)\)
2.推广：对\(\forall n \geq 2\)当\(P(A_1A_2...A_{n-1})>0\)时
有 \(P(A_1A_2...A_{n-1}A{n})=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)...P(A_n|A_1A_2...A_{n-1})\)
全概率公式
如果事件组\(B_1,B_2,...,B_n\)满足
1.\(\forall i\neq j\in \left \{1,2,\cdots ,n \right \},B_i\cap B_j = \varnothing\)
2.\(B_1\cup B_2\cup ...\cup B_n=\Omega\)
则称事件组\(B_1,B_2,...,B_n\)是样本空间\(\Omega\)的一个划分,或称为样本空间\(\Omega\)的一个完备事件组。
设事件组\(\left \{B_i \right \}\)是样本空间\(\Omega\)的一个划分，且\(P(B_i)>0(i \in \left \{1,2,\cdots ,n \right \})\)
对任一事件\(A\)，有\(P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)\)
贝叶斯公式
设事件组\(\left \{B_i \right \}\)是样本空间\(\Omega\)的一个划分，则对任一事件\(A(P(A)>0)\),有
\(P(B_i|A)=\dfrac{P(AB_i)}{P(A)}=\dfrac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)}\)
上式即为贝叶斯公式，\(B_i\)常被视为导致试验结果\(A\)发生的”原因“，\(P(B_i)(i\in \left \{1,2,\cdots ,n \right \})\)表示各种原因发生的可能性大小，故称先验概率；\(P(B_i|A)(i\in \left \{1,2,\cdots ,n \right \})\)则反映当试验产生了结果\(A\)之后，再对各种原因概率的新认识，故称后验概率。
数学期望
离散型随机变量\(X\)的取值为\(x_1,x_2,x_3,...,x_{n}\)，\(p_1,p_2,p_3,...,p_{n}\)为\(X\)对应取值的概率
则称\(E(X)=\sum_{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\)为离散型随机变量\(X\)的数学期望
性质：\(E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\)
Problem
P4316 绿豆蛙的归宿
设\(F[x]\)表示从\(x\)走到\(N\)期望长度
\(F[x]=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}(F[y_{i}]+z_{i})\)
\(F[N]=0\)
\(Ans=F[1]\)
P1365 WJMZBMR打osu! / Easy
设\(f[x]\)表示到\(x\)期望得分 \(g[x]\)表示以\(x\)结尾期望\(o\)序列长度
\(s[i]==x\ f[i]=f[i-1],g[i]=0\)
\(s[i]==o\ f[i]=f[i-1]+2*g[i-1]+1,g[i]=g[i-1]+1\)
\(s[i]==?\ f[i]=f[i-1]+\frac{(2g[i-1]+1)+0}{2},g[i]=\frac{(g[i-1]+1)+0}{2}\)
\(Ans=f[n]\)
P1654 OSU!
\(p[i]\)表示\(i\)位置成功概率
设\(f[i]\)表示到\(i\)期望得分 \(x1[i]\)以\(i\)结尾\(1\)序列期望长度 \(x2[i]\)表示以\(i\)结尾\(1\)序列期望长度平方
\((x+1)^{3}=(x^{2}+2x+1)(x+1)=x^{3}+3x^{2}+3x+1\)
若第\(i\)次成功且有\(f[i-1]=x^{3}则f[i]=f[i-1]+3x^{2}+3x+1\)
\(x1[i]=(x1[i-1]+1)p[i]\)
\(x2[i]=(x2[i-1]+2x1[i-1]+1)p[i]\)
\(f[i]=f[i-1]+(3x2[i-1]+3x1[i-1]+1)p[i]\)
\(Ans=f[n]\)
P1297 [国家集训队]单选错位
\(Ans=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{max(a_i,a_{i+1})}+\frac{1}{max(a_1,a_n)}\)
大概想了想，猜了这个，应该就是前后错位后正确的概率和答案个数多的那个有关吧，不会证。
