UVA 11437 Triangle Fun

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=2432

求三角形的三条三等分线的交点所形成的三角形的面积

证明等边：

 

                                                                                                         

如图：证明等边三角形

s1+s2+s3+s1=(1/3)s;

BD:DC=1:2           s2=2s1

s=3*(s1+s2+s3+s1)=3s1+3s2+3s3+s0==>s0=3s1

可得：s2+s1=3s1=s0               在SΔBRC中：SΔBRQ==SΔBQC   ======>     RQ==QC   ===========>   s0==s3

========>s0=3s1;

=======>s1+s2+s3+s1=7s1=(1/3)s=======>s1=(1/21)/s==========>s0=(1/7)s;

证明普通：

　　

　                                                                                      

                                  如图所示作AG∥BC交BE延长线于点G，作DH∥AB交CF于点H，　

                 则得：AG：BC=AE：EC=1：2，AP：PD=AG：BD=3：4   *****************（1）

                 又由于DH：BF=1：3，DH：AF=1：6，　　

                 所以DR：AR=1：6，DR：DA=1：7，　　********************************（2）

/****************************************************************************************************

PS：到了此处如果，不追究严格的论证方法，应该可以直接看出：SΔDRC=1/7h*i/3BC:SΔBFC=BC*1/3h=1:7;

                                   S△CDR=1/7S△BFC=1/21S△ABC，

　　因此S△PQR：S△ABC=1：7　　即：S△PQR=1/7S△ABC=1/7

/*****************************************************************************************************

下面还是给出严格的证明过程：

                        由（1）（2）有AP：PR = 3 ：3 即 P为AR的中点。

                        同理可得Q为BP中点，R为CQ中点。

                       连接AQ、CP、BR。

                       在△AQR中，P为AR中点，所以由同底等高得S△AQP=S△RQP

                                              同理有S△PQR=S△BQR=S△CPR=S△AQR   **************************（3）

                       因为F、D、E分别为三角形三条边的三等分点

                       所以S△ABE=S△CBF=S△ADC=1/3*S△ABC （底在同一条线上，高相等）

                       所以S△ABE+S△CBF+S△ADC=S△ABC  ****************************（4）

                       而（4）中三个小三角形△BFQ、△AEP、△CDR加了两次，但是△PQR没有加

                       所以△BFQ + △AEP + △CDR = △PQR  ******************************（5）

                       而在△BRC中DC ： BC = 1 ：3

                                               得到S△CDR ：S△BCR= 1 ：3

                                               同理S△BFQ ：S△BAQ=1 ：3

                                                       S△AEP ：S△ACP= 1 ：3

                                             所以由（5）有S△BAQ + S△ACP + S△BCR = 3*(△BFQ + △AEP + △CDR)  

 

                                                                                                                     =3*S △PQR                ***********************(6)

                                             由（3）（6）得到S△PQR=1/7S△ABC

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using namespace std; 
#define lowbit(x) (x&(-x)) 
#define max(x,y) (x>y?x:y) 
#define min(x,y) (x<y?x:y) 
#define MAX 100000000000000000 
#define MOD 1000000007
#define pi acos(-1.0) 
#define ei exp(1) 
#define PI 3.141592653589793238462
#define ios() ios::sync_with_stdio(false)
#define INF 0x3f3f3f3f 
#define mem(a) (memset(a,0,sizeof(a)))
typedef long long ll;
int t;
struct point
{
    double x;
    double y;
}node[4];
double area(point a,point b,point c)
{
    return fabs((b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y));
}
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        for(int i=0;i<=2;i++)
        {
            scanf("%lf%lf",&node[i].x,&node[i].y);
        }
        printf("%.0lf\n",area(node[0],node[1],node[2])/(2*7));
    }
}
/*
2
3994.707 9251.677 4152.916 7157.810 5156.835 2551.972
6903.233 3540.932 5171.382 3708.015 213.959 2519.852
 */