SGU 495: Kids and Prizes

类型：概率DP

题意：有N个箱子放有礼物，M个人依次取。如果取到的箱子有礼物，则拿走礼物。无论有没有拿到礼物，都将箱子原状放回。（所以就有可能后面的人拿到前面的人拿过的箱子，然后就没得到奖品）。问，主办方期望送出的礼物数量。

思路：

思路一：期望递推法。

期望是理想值。可以理解成，在理想状态下，做期望数次，一定，也是恰好，能完成这件事。

为什么能这么想？在现实中显然是不成立的，但是我们是做题目，求的是一个理想的值，也就是说我们是在一个理想的环境中，所以可以用这种理想化的想法。

那么这道题目就是：设dp[i] 表示i个人拿过以后，主办方送出礼物的期望数量。

那么，对于第i个人，可能拿到，也可能没拿到礼物，转移方程就是：

dp[i] = (N-dp[i-1])/N  *  (dp[i-1] + 1)  +      (dp[i-1])/N   *   dp[i-1];

               拿到的概率   拿到的话就要多送一个  没拿到的概率  没拿到那还是一样

出口是：dp[0] = 0;  dp[1] = 1; 不解释……

太神奇了（会不会是碰巧对的呢……奇葩思路）

思路二：（别人） 从概率角度。

设dp[i] 表示 第i个人拿到奖品的概率。则

dp[i] = (1-dp[i-1])*dp[i-1] + dp[i-1] * (dp[i-1]    -   (1.0/n))

意义为:如果个人没拿到，则本次拿到概率和前次相同。如果前个人拿到了，那么本次拿到的概率应当比上次小(1/n)

代码（思路一）：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#define M 100010

double dp[M];

int main() {
    int n, m;
    while (~scanf("%d%d", &n, &m)) { 
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= m; i++) {
            dp[i] = (n-dp[i-1])/(n+0.0)*(dp[i-1]+1) + (dp[i-1])/(n+0.0)*dp[i-1];
        }
        printf("%.9lf\n", dp[m]);
    }
    return 0;
}