合并排序(MergeSort)是一种采用分治法策略对一组无序数据进行排序的算法。
分治法:将原问题划分为n个规模较小而结构与原问题相似的子问题;递归的解决这些子问题,然后合并子问题的结果,就得到原问题的解。分治法在每一层递归上有3个步骤:分解、解决、合并。
分解(Divide):将原问题分解为一系列子问题。
解决(Conquer):递归的解各个子问题,若子问题足够小,则直接求解。
合并(Combine):将子问题的解合并成原问题的解。
一、合并排序原理
合并排序(MergeSort)算法完全依照了上述模式,直观的操作如下:
分解:将n个元素分成各含有n/2个元素的子序列。
解决:用合并排序法对两个子序列递归的排序。
合并:合并两个已排序的子序列以得到排序结果。
二、合并排序算法分析
合并排序采用分治法策略将原问题分解为k的规模较小的子问题,递归求解再合并以得到原问题的解。
合并排序所用的复杂性分析如下:
(1)分解:这一步仅是计算出子数组中的中间位置,需要常量时间,因而D(n)=O(1);
(2)解决:递归的解两个规模是n/2的子问题时间为2T(n/2);
(3)合并:我们已经注意到在一个含有n个元素的子数组上,Merge过程中的运行时间是O(n),则C(n)=O(n);
整体公式为:
可得:T(n)=O(nlogn) 是渐进意义下的最优算法;
三、合并排序实现
#include <iostream> #include <stdlib.h> #include <time.h> #define N 15 using namespace std; void Merge(int * array,int low,int middle,int high); void MergeSort(int * array,int low,int high); int main() { int array[N]; srand(time(0));//设置随机化种子,避免每次产生相同的随机数 for(int i=0 ; i<N ; i++) { array[i] = rand()%101;//数组赋值使用随机函数产生1-100之间的随机数 } cout<<"排序前:"<<endl; for(int j=0;j<N;j++) { cout<<array[j]<<" "; } cout<<endl<<"排序后:"<<endl; //调用合并排序函数对该数组进行排序 MergeSort(array,0,N-1); for(int k=0;k<N;k++) { cout<<array[k]<<" "; } cout<<endl; return 0; }//main void MergeSort(int *array,int low,int high) { if(low<high) { int middle = (low+high)/2; MergeSort(array,low,middle); MergeSort(array,middle+1,high);//注意取值middle+1 至 q Merge(array,low,middle,high); }//if }//MergeSort void Merge(int *array,int low,int middle,int high) { int lSize = middle-low+1;//low至middle之间的数据个数 int rSize = high-middle;//middle至high之间的数据个数 int *lArray = new int[lSize];//声明左半边数组 int *rArray = new int[rSize];//声明右半边数组 for(int i=0;i<lSize;i++) { lArray[i] = array[low+i];//为左半边数组赋值 }//for for(int j=0;j<rSize;j++) { rArray[j] = array[middle+j+1];//为右半边数组赋值 }//for /*a为了Array数组的循环变量,b为rArray数组的循环变量, *k为原数组array的循环变量 */ int a=0,b=0,k; for(k=low;k<=high;k++) { if(a>=lSize) { array[k] = rArray[b++]; }else if(b>=rSize){ array[k] = lArray[a++]; }else{ if(lArray[a]<=rArray[b]) { array[k] = lArray[a++]; }else{ array[k] = rArray[b++]; }//else }//else }//for }//Merge
运行结果: