高斯滤波对图像方差有什么影响
均值与方差
首先回忆下均值和方差的定义，若存在\(n\)个数为\(x_1, x_2, \dots, x_n\)，则均值\(\mu\)为：
均值衡量的是数值集中在哪个数值附近。令标准差为\(\sigma\)，则方差\(\sigma^2\)为：
标准差用于衡量数值分布距离均值的平均距离，即数据的集中程度。
定性分析
定性地分析，高斯滤波（平滑）对图像进行平滑，会让当前像素与周围像素更加接近，像素间更加接近自然方差会变小。从频域角度，高斯滤波相当于低通滤波，会移除图像中“突兀”的高频成分，剩下的自然是相对“不突兀”的部分，反映在方差上就会变小。
定量分析
定量地看，若不对图像进行任何假设，认为每个像素符合独立同分布，其均值和方差分别为\(\mu\)和\(\sigma^2\)，对其进行高斯滤波，假定窗口内共有\(n\)个像素，灰度值为\(x_1, x_2, \dots, x_n\)，对应的高斯权重为\(g_1, g_2, \dots, g_n\)，有\(\sum_{i=1}^n g_i = 1, \forall g_i>0\)，则滤波后的当前像素的值为：
\(y\)的方差即：
其中当高斯核确定后，\(g_1, g_2, \dots, g_n\)为常数，因为\(x_1, x_2, \dots, x_n\)相互独立且同分布，则进一步地
由上\(\sum_{i=1}^n g_i = 1, \forall g_i>0\)，\(\forall g_i <1\)，则\(\sum_{i=1}^{n}g_i^2 < 1\)，所以\(Var(y)=\sigma^2 \sum_{i=1}^{n}g_i^2 < \sigma^2\)，即经过高斯滤波后方差变小。
这里并不限于高斯滤波，对其他平滑滤波器同样试用——只需满足上述权重条件即可，即平滑滤波器将降低图像的方差。
当然，也可以从连续角度分析，具体可见参考部分。
参考
出自本人博客：高斯滤波对图像方差有什么影响
