网络权重初始化方法总结（上）：梯度消失、梯度爆炸与不良的初始化
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前向传播与反向传播回顾
神经网络的训练过程可以简化成以下步骤，
- 输入预处理（feature scaling等）
- 初始化网络weight和bias
- 前向传播，得到网络输出
- 计算损失函数，得到当前损失
- 反向传播，根据链式法则，逐层回传得到损失函数对当前参数的偏导，根据梯度下降算法对当前参数进行更新
- 重复步骤3 4 5，直到损失不再减小，即收敛
一个简单的前向传播和反向传播的示意图如下，线性组合和非线性激活交替进行，线性组合层可以为全连接层或卷积层等，图片来自链接，
梯度下降算法的参数更新公式为，
其中\(C=J(W)\)为损失函数，即通过参数的偏导对参数进行更新。反向传播时，由链式法则，偏导反向回传，逐层计算损失函数对当前参数的偏导。对某个参数的偏导为一串因子的乘积，因子依次为损失函数对网络输出的偏导、激活函数的偏导、线性组合的偏导、激活函数的偏导、线性组合的偏导……如下面所示（来自链接），这里，损失为二分之LMS，用\(C\)表示，\(z\)为线性组合的输出（激活层的输入），\(a\)为激活层的输出（线性组合的输入），
仔细观察上式，偏导为一串因子的乘积，因子中的每一项对乘积结果都有影响，有几点需要注意，回传时，
- 每个权重的偏导中含有一个共同的因子项，为损失函数对网络输出的偏导
- 每经过一个激活层，就有一个激活函数偏导作为因子项，如\(\sigma'(z^L)=\frac{\partial a^L}{\partial z^L}\)
- 对当前线性组合层的权重求偏导，含且只含一个当前层的输入（前一层的输出）作为因子项，如\(a^{L-1}\)
- 每经过一个线性组合层（全连接层or卷积层），就有一个权重矩阵作为因子项，如\(w^L\)
所以，激活函数的偏导、权重矩阵、当前层的输入（前一层的输出），这些项的取值均会对偏导数产生影响，偏导数为这些因子项共同作用的结果，特别地，
- 若激活函数偏导为0，则权重偏导为0；
- 若前一层的输出（当前层输入）为0，则当前层权重的偏导为0；
- 若后一层的权重\(w^L\)为0，则当前层权重的偏导\(\frac{\partial C}{\partial {w^{L-1}}}\)为0；
直觉上，因子项连乘可能隐含潜在的问题：\(0.25^{10} = 0.00000095367431640625\)，\(2^{10}=1024\)。对于现在动辄几十、成百、上千层的网络，这些因子项的取值范围极大地影响着权重偏导的结果：小了，经过连续相乘，结果可能接近于0，大了，结果可能超过数据类型的上界。同时，网络的深度让这个问题指数级地放大了。
梯度消失与梯度爆炸
梯度为偏导数构成的向量。
损失函数收敛至极小值时，梯度为0（接近0），损失函数不再下降。我们不希望在抵达极小值前，梯度就为0了，也不希望下降过程过于震荡，甚至不收敛。梯度消失与梯度爆炸分别对应这2种现象，
梯度消失(vanishing gradients)：指的是在训练过程中，梯度（偏导）过早接近于0的现象，导致（部分）参数一直不再更新，整体上表现得像损失函数收敛了，实际上网络尚未得到充分的训练。
梯度爆炸（exploding gradients）：指的是在训练过程中，梯度（偏导）过大甚至为NAN（not a number）的现象，导致损失剧烈震荡，甚至发散(divergence)。
由上一节的分析可知，在梯度（偏导）计算中，主要的影响因素来自激活函数的偏导、当前层的输入（前一层的输出）、以及权重的数值等，这些因子连续相乘，带来的影响是指数级的。训练阶段，权重在不断调整，每一层的输入输出也在不断变化，梯度消失和梯度爆炸可能发生在训练的一开始、也可能发生在训练的过程中。
因子项中当前层的输入仅出现一次，下面着重看一下激活函数和权重的影响。
激活函数的影响
以Sigmoid和Tanh为例，其函数与导数如下（来自链接），
两者的导数均在原点处取得最大值，前者为0.25后者为1，在远离原点的正负方向上，两者导数均趋近于0，即存在饱和区。
- 原点附近：从因子项连乘结果看，Tanh比Sigmoid稍好，其在原点附近的导数在1附近，如果激活函数的输入均在0左右，偏导连续相乘不会很小也不会很大。而sigmoid就会比较糟糕，其导数最大值为0.25，连续相乘会使梯度指数级减小，在反向传播时，对层数越多的网络，浅层的梯度消失现象越明显。
- 饱和区：一旦陷入饱和区，两者的偏导都接近于0，导致权重的更新量很小，比如某些权重很大，导致相关的神经元一直陷在饱和区，更新量又接近于0，以致很难跳出或者要花费很长时间才能跳出饱和区。
所以，一个改善方向是选择更好的非线性激活函数，比如ReLU，相关激活函数如下图所示，
ReLU只在负方向上存在饱和区，正方向上的导数均为1，因此相对更少地遭遇梯度消失，但梯度爆炸现象仍然存在。
权重矩阵的影响
假设激活函数为线性，就像ReLU的正向部分，导数全为1。则一个简化版本的全连接神经网络如下图所示，
假设权重矩阵均为\(W\)，前向传播和反向传播过程均涉及\(W\)（转置）的反复相乘，\(t\)步相当于\(W^t\)，若\(W\)有特征值分解$W=V \ diag(\lambda) \ V^{-1} $，简单地，
其中\(diag(\lambda)\)为特征值对角矩阵，如果特征值\(\lambda_i\)不在1附近，大于1经过\(t\)次幂后会“爆炸”，小于1经过\(t\)次幂后会“消失”。
如果网络初始化时，权重矩阵过小或过大，则在网络训练的初始阶段就可能遭遇梯度消失或梯度爆炸，表现为损失函数不下降或者过于震荡。
不良初始化
至此，一些权重不良初始化导致的问题就不难解释了，
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过小，导致梯度消失
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过大，导致梯度爆炸
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全常数初始化，即所有权重\(W\)都相同，则\(z^{(2)}=W^1 x\)相同，导致后面每一层的输入和输出均相同，即\(a\)和\(z\)相同，回到反向传播的公式，每层的偏导相同，进一步导致每层的权重会向相同的方向同步更新，如果学习率只有一个，则每层更新后的权重仍然相同，每层的效果等价于一个神经元，这无疑极大限制了网络的能力。
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特别地，全0初始化，根据上式，如果激活函数\(g(0) = 0\)，如ReLU，则初始状态所有激活函数的输入\(z\)和输出\(a\)都为0，反向传播时所有的梯度为0，权重不会更新，一直保持为0；如果激活函数\(g(0) \neq 0\)，则初始状态激活层的输入为0，但输出\(a\neq 0\)，则权重会从最后一层开始逐层向前更新，改变全0的状态，但是每层权重的更新方向仍相同，同上。
这几种权重初始化方法对网络训练过程的影响，可在Initializing neural networks进行可视化实验，可观察权重、梯度和损失的变化，美中不足的是隐藏层的激活函数只有ReLU，不能更换为Sigmoid、Tanh等，如下所示，
话说回来，所以我们需要好的网络初始化方法，以对反向传播过程中的梯度有所控制。对反向传播中梯度加以控制的方法，不止这里提到的激活函数和权重初始化，还有梯度截断（gradient clipping）、网络模型设计方面等方法，因为本文的重点在于权重初始化，对此按下不表。
那么，合适的网络初始化方法是什么呢？我们下回分解。
