单变量微分、导数与链式法则
映射是一种对应关系。
函数是一种映射，将变量间的关系形式化为数学描述。
令\(y = f(x)\)，即\(y\)是\(x\)的函数，可以是\(y = 2x + 1\)，也可以是\(y = sin(x)\)。\(x\)的变化将引起\(y\)的变化，\(x\)的变化量\(\triangle x\)导致\(y\)变化\(\triangle y\)，当变化量很小（趋近于0）时，为瞬间变化量，记为\(dx\)和\(dy\)，瞬间变化量之比为瞬间变化率，即\(\frac{dy}{dx}\)。瞬间变化率\(\frac{dy}{dx}\)乘以\(x\)的瞬间变化量\(dx\)为\(y\)的瞬间变化量\(dy\)。
导数（Derivative），是对瞬间变化率的衡量，即\(\frac{dy}{dx}\)，导数也是函数，衡量每个\(x\)位置处的瞬间变化率。而微分（Differential，differentiation， differential calculus），指的是求导数——通过求瞬间变化量的关系来求导数。
当\(x\)为单变量时，导数为
每个位置处的导数如下
基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。
基本初等函数通过四则运算和复合可以得到复杂函数，其中减法与加法等价，除法与乘法等价：
- 加法（减法）：\(f(x)+g(x)\)
- 乘法（除法）：\(f(x)g(x)\)
- 复合：\(f(g(x))\)
加法的求导可以理解为变化量（率）的叠加，即\(f' + g'\)；
乘法的求导可以理解为矩形面积的变化率，将\(f(x)\)和\(g(x)\)看成矩形的边长，导数为$$\frac{(f + df)(g+dg)}{dx}\(，在\)dx\(趋近于0时，面积增量为\)fdg+gdf\(（忽略了极小项），即导数为\)f'g+fg'\(。如下
**复合函数的求导**可以理解为**变化率的传递**，\)y = f(u)\(，\)u=g(x)\(，\)x\(的变化引起\)u\(的变化，\)u\(的变化引起\)y\(的变化，即\)dy=\frac{dy}{du} du =\frac{dy}{du} \frac{du}{dx} dx\(，\)\frac{dy}{dx}= \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}\(，此为**链式法则**，\)f'(x) = f'(g(x)) g'(x)$。变化量的传递如下：
可以令\(x\)变化一个极小量如\(\triangle x=0.000001\)，带入函数求\(y\)的变化量\(\triangle y\)，用\(\frac{\triangle y}{\triangle x}\)来估计\(x\)位置的导数，但这无疑是费时费力的，常见函数的导数一般都存在解析形式，如下：
