单变量微分、导数与链式法则

映射是一种对应关系。

函数是一种映射，将变量间的关系形式化为数学描述。

令$y = f(x)$，即$y$是$x$的函数，可以是$y = 2x + 1$，也可以是$y = sin(x)$。$x$的变化将引起$y$的变化，$x$的变化量$\triangle x$导致$y$变化$\triangle y$，当变化量很小（趋近于0）时，为瞬间变化量，记为$dx$和$dy$，瞬间变化量之比为瞬间变化率，即$\frac{dy}{dx}$。瞬间变化率$\frac{dy}{dx}$乘以$x$的瞬间变化量$dx$为$y$的瞬间变化量$dy$。

导数（Derivative），是对瞬间变化率的衡量，即$\frac{dy}{dx}$，导数也是函数，衡量每个$x$位置处的瞬间变化率。而微分（Differential，differentiation， differential calculus），指的是求导数——通过求瞬间变化量的关系来求导数。

当$x$为单变量时，导数为

$$f'(a) = \frac{dy}{dx} \rvert _{x=a} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

每个位置处的导数如下

基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。

基本初等函数通过四则运算和复合可以得到复杂函数，其中减法与加法等价，除法与乘法等价：

1. 加法（减法）：$f(x)+g(x)$
2. 乘法（除法）：$f(x)g(x)$
3. 复合：$f(g(x))$

加法的求导可以理解为变化量（率）的叠加，即$f' + g'$；
乘法的求导可以理解为矩形面积的变化率，将$f(x)$和$g(x)$看成矩形的边长，导数为$$\frac{(f + df)(g+dg)}{dx}$，在$dx$趋近于0时，面积增量为$fdg+gdf$（忽略了极小项），即导数为$f'g+fg'$。如下  **复合函数的求导**可以理解为**变化率的传递**，$y = f(u)$，$u=g(x)$，$x$的变化引起$u$的变化，$u$的变化引起$y$的变化，即$dy=\frac{dy}{du} du =\frac{dy}{du} \frac{du}{dx} dx$，$\frac{dy}{dx}= \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$，此为**链式法则**，$f'(x) = f'(g(x)) g'(x)$。变化量的传递如下：

可以令$x$变化一个极小量如$\triangle x=0.000001$，带入函数求$y$的变化量$\triangle y$，用$\frac{\triangle y}{\triangle x}$来估计$x$位置的导数，但这无疑是费时费力的，常见函数的导数一般都存在解析形式，如下：

参考

• http://mathworld.wolfram.com/Differential.html
• Chain rule
• 3Bulu1Brown-直观理解链式法则和乘积法则