完全背包
完全背包
完全背包和01背包区别就是完全背包的物品是无限数量。
递推公式也是一样的，但难点在于遍历顺序上！
0/1背包的一维，一定是外层遍历物品，内层遍历背包，且背包从大到小遍历。
方法总结：
纯完全背包的内外层遍历无所谓，但是背包必须是从小到大遍历。并且，当问题不是纯完全背包时，比如求装满背包的方法数，内外层遍历顺序就有讲究了：
- 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
- 如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
而像求最小个数、最大个数...等等和取物品的顺序没有关系的时候，内外层谁先遍历就无所谓了。
完全背包的物品是可以添加多次的，所以遍历背包容量要从小到大去遍历，即：
// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j < bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
上面的代码是求纯完全背包(凑成背包最大价值是多少)，遍历的内外层顺序不重要。但并非所有的题都是纯的，比如：求装满背包有几种方法。
这里在遍历顺序上可就有说法了。
-
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
-
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
why?
如果有两个物品1和5，如果先遍历物品，就只能出现{1, 5}这种情况，而不能出现{5, 1}，也就是说5只能出现在1的后面。如果先遍历背包，就能都出现了。
题目啥的
求组合数
1. 零钱兑换II
题目描述
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。
请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。
假设每一种面额的硬币有无限个。
题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。
解题思路
-
物品数量有无限个 -> 完全背包 -> 背包从小到大遍历
-
组合问题：
dp[j] += dp[j-coins[i]] -
组合问题：外层遍历物品，内层遍历背包
代码
class Solution {
//背包容量 = amount
//物品有无数多个 -> 完全背包
//dp[j] = 可以凑成金额j的硬币组合数
//物品的重量和价值都是coins[i]
//装满背包有几种方法：dp[j] += dp[j-coins[i]]
//dp[0] = 1
public int change(int amount, int[] coins) {
int[] dp = new int[amount+1];
dp[0] = 1;
for(int i=0; i<coins.length; i++) {
for(int j=coins[i]; j<=amount; j++) {
dp[j] += dp[j-coins[i]];
}
}
return dp[amount];
}
}
求排列数
1. 组合总和IV
题目描述
给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。
题目数据保证答案符合 32 位整数范围。
顺序不同的序列被视作不同的组合。
解题思路
-
物品数量有无限个 -> 完全背包 -> 背包从小到大遍历
-
排列问题：
if(j >= nums[i]) dp[j] += dp[j-nums[i]] -
排列问题：外层遍历背包，内层遍历物品
代码
class Solution {
public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
int[] dp = new int[target+1];
dp[0] = 1;
for(int j=0; j<=target; j++) {
for(int i=0; i<nums.length; i++) {
if(j >= nums[i]) {
dp[j] += dp[j-nums[i]];
}
}
}
return dp[target];
}
}
2. 爬楼梯进阶版
题目描述
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
解题思路
-
背包容量是n，物品是1和2
-
完全背包，排列问题
代码
class Solution {
//背包容量是n
//物品是1和2
//完全背包，排列问题
//dp[j] = 爬到j阶有多少种不同的方法
//dp[j] += dp[j-values[i]], i=1,2
public int climbStairs(int n) {
int[] dp = new int[n+1];
dp[0] = 1;
for(int j=0; j<=n; j++) {
for(int i=1; i<=2; i++) {
if(j >= i) {
dp[j] += dp[j-i];
}
}
}
return dp[n];
}
}
求最小数
因为是最小数，所以要初始化成大的
1. 零钱兑换
题目描述
给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。
计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
解题思路
-
硬币数无限 -> 完全背包 -> 背包从小到大遍历
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组合问题：外层遍历物品，内层遍历背包
代码
class Solution {
//dp[j] = 凑成金额j所需的最小硬币的个数
//dp[j] = min(dp[j], dp[j-coins[i]] + 1), i=0,...n-1
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int[] dp = new int[amount+1];
Arrays.fill(dp, amount+1); //最差也要amount个面额为1的硬币
dp[0] = 0; //注意，凑成金额0当然只需要0个硬币
for(int i=0; i<coins.length; i++) {
for(int j=coins[i]; j<=amount; j++) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j-coins[i]] + 1);
}
}
return dp[amount] == amount + 1 ? -1 : dp[amount];
}
}
2. 完全平方数
题目描述
给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
解题思路
-
每个完全平方数可以取无数次 -> 完全背包 -> 背包从小到大
-
组合问题 -> 先遍历物品，再遍历背包
代码
class Solution {
//dp[j] = 和为j的完全平方数的最少数量
//dp[j] = min(dp[j], dp[j-比j小的完全平方数] + 1)
//每个完全平方数可以取无数次 -> 完全背包
//组合问题
//dp[0] = 0
public int numSquares(int n) {
int[] dp = new int[n+1];
Arrays.fill(dp, n+1); //最差的情况，全部由1组成
dp[0] = 0;
for(int i=1; i*i <= n; i++) {
for(int j=i*i; j<=n; j++) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j-i*i] + 1);
}
}
return dp[n];
}
}
其他题目
1. 单词拆分🔺
给你一个字符串 s 和一个字符串列表 wordDict 作为字典。请你判断是否可以利用字典中出现的单词拼接出 s 。
注意：不要求字典中出现的单词全部都使用，并且字典中的单词可以重复使用。
示例 1：
输入: s = "leetcode", wordDict = ["leet", "code"]
输出: true
解释: 返回 true 因为 "leetcode" 可以由 "leet" 和 "code" 拼接成。
示例 2：
输入: s = "applepenapple", wordDict = ["apple", "pen"]
输出: true
解释: 返回 true 因为 "applepenapple" 可以由 "apple" "pen" "apple" 拼接成。
注意，你可以重复使用字典中的单词。
示例 3：
输入: s = "catsandog", wordDict = ["cats", "dog", "sand", "and", "cat"]
输出: false
提示：
1 <= s.length <= 300
1 <= wordDict.length <= 1000
1 <= wordDict[i].length <= 20
s 和 wordDict[i] 仅由小写英文字母组成
wordDict 中的所有字符串 互不相同
思路及代码：
class Solution {
//字典中的单词可以重复使用 -> 完全背包
//和顺序有关 -> 排列问题 -> 先遍历背包，再遍历物品
//dp[j] = s[0...j]是否可以用字典中的单词拼接出
//dp[j] |= dp[j-len(word)] && word in wordDict
//word是啥？以j为结尾的s的子串
//dp[0] = true
//虽然物品是word，但要灵活一点
public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {
boolean[] dp = new boolean[s.length()+1];
dp[0] = true;
HashSet<String> wordSet = new HashSet<>(wordDict);
for(int j=1; j<=s.length(); j++) {
for(int i=0; i<j; i++) {
String word = s.substring(i, j);
boolean inSet = wordSet.contains(word);
if(dp[i] && inSet) {
dp[j] = true;
break;
}
}
}
return dp[s.length()];
}
}
