【题解】[2023 合肥蜀山初中] 旅行(travel)

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题目大意

有一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的有向图组成的城市，每条边可以是骑行边或公共交通边，公共交通边只能走一条，边是从 \(u_i\) 到 \(v_i\) 的有向边，需要花费 \(time_i\) 的时间，求 \(1\) 到其他点的最短路径。

思路分析

有一个很巧妙的思路叫分层图，它的思路是因为只能经过至多 \(1\) 条公共交通边，所以可以只连骑行边，把图复制一遍，得到两层图。公共交通边作为两层图的连接的边，第一层图的 \(u\) 连接第二层的 \(v\)，连一张单向边。这样做保证了只经过一条公共交通边，因为在第一层跑最短路，经过一条公共交通边后，会在第二层图跑最短路，到第二层图后就永远不会到第一层，也就不会经过多次公共交通边了。

考虑如何实现，我们认为第一张图是 \(1\) ~ \(i\) ~ \(n\)，第二张图是 \(n+1\) ~ \(n+i\) ~ \(n+n\)，建骑行边就是 \(u\to v\) 和 \(u+n\to v+n\)，在两张图上建，公共交通边就是 \(u\to v+n\)，第一层图的 \(u\) 连接第二层的 \(v\)，再在图上跑 dijkstra 就行，数据范围很明显我们不能写 \(\mathcal{O(n^2)}\)，所以要堆优化。

这里就写堆优化了，时间复杂度 \(\mathcal{O(m\log m)}\)。

\(\texttt{code}\)

/*Written by smx*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define QAQ cout<<"QAQ";
const int MAXN=4e5+5,inf=1e18,mod=1e9+7;
vector<pair<int,int> > g[MAXN];
int n,m;
priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > > pq;
int dis[MAXN],vis[MAXN];
void dijkstra(int s){
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	dis[s]=0;
	pq.push(make_pair(0,s));
	while(!pq.empty()){
		pair<int,int> k=pq.top();
		pq.pop();
		if(vis[k.second]) continue;
		vis[k.second]=1;
		for(int i=0;i<g[k.second].size();i++){
			int to=g[k.second][i].first;
			int w=g[k.second][i].second;
			if(dis[to]>k.first+w){
				dis[to]=k.first+w;
				pq.push(make_pair(dis[to],to));
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dis[i]=min(dis[i],dis[i+n]);
	}
}
signed main(){
	freopen("travel.in","r",stdin);
	freopen("travel.out","w",stdout);
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v,op,t;
		cin>>u>>v>>op>>t;
		if(op==1){
			g[u].push_back(make_pair(v,t));
			g[u+n].push_back(make_pair(v+n,t));
		}else{
			g[u].push_back(make_pair(v+n,t));
		}
	}
	dijkstra(1);
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(dis[i]==0x3f3f3f3f3f3f3f3f){
			cout<<"-1 ";
		}else{
			cout<<dis[i]<<" ";
		}
	}
	return 0;
}