题解：SP3693 KGSS - Maximum Sum
思路分析
线段树。
这道题让我们进行两种操作，分别是单点修改和区间查询，结合数据范围，很明显是一道线段树。
区间里最大的 \(A_i+A_j\)，其实就是求区间里的最大值和次大值，我们用线段树维护最大值和次大值。
建树
void build(int now,int tl,int tr){
if(tl==tr){
tmax[now]=a[tl];
tnxt[now]=-inf;//区间里只有 a[now]，赋值成最小值
}else{
int mid=(tl+tr)/2;
build(2*now,tl,mid);
build(2*now+1,mid+1,tr);
tmax[now]=max(tmax[2*now],tmax[2*now+1]);
tnxt[now]=max(min(tmax[2*now],tmax[2*now+1]),max(tnxt[2*now],tnxt[2*now+1]));//如下
}
}
我们定义 \(tmax_{now}\) 和 \(tnxt_{now}\) 表示区间最大值和次大值，其中，\(tnxt_{now}\) 这个算式，第一个 \(\min\) 里面因为 \(tmax_{now}\) 取的是两个中的较大的一个，所以改为求 \(\min\)。
单点修改
void update(int now,int tl,int tr,int pos,int x){//将第 pos 个数改为 x
if(tl==tr){
tmax[now]=x;//修改
}else{
int mid=(tl+tr)/2;
if(pos<=mid){//找第 pos 个数，看是在哪个子树里
update(2*now,tl,mid,pos,x);
}else{
update(2*now+1,mid+1,tr,pos,x);
}
tmax[now]=max(tmax[2*now],tmax[2*now+1]);
tnxt[now]=max(min(tmax[2*now],tmax[2*now+1]),max(tnxt[2*now],tnxt[2*now+1]));//同上
}
}
线段树的单点修改，是先通过类似二分的方法找到需要修改的数并进行修改，再回溯更新祖先的最大值和次大值，其中，更新与建树中的相同。
区间查询
void query(int now,int tl,int tr,int l,int r){//分别表示为：当前节点编号，目前的区间是 (tl,tr)，要查询 (l,r)
if(tl>=l&&tr<=r){
ans2=max(min(ans1,tmax[now]),max(ans2,tnxt[now]));
ans1=max(ans1,tmax[now]);//更新最大值和次大值
}else{
int mid=(tl+tr)/2;
if(l<=mid){//左子树包含我需要的
query(2*now,tl,mid,l,r);
}
if(r>mid){//右子树包含我需要的
query(2*now+1,mid+1,tr,l,r);
}
}
}
线段树的区间查询，也是通过类似二分的方法，判断当前子树里是否包含我需要的 \((l,r)\) 区间的一部分，有则递归，否则就不递归进入，最后返回答案。
将以上代码合起来，就是最终答案了，单次修改和查询的时间复杂度应该是 \(O(\log n)\)。
\(\texttt{code}\)
/*Written by smx*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define QAQ cout<<"QAQ";
const int MAXN=1e5+5,inf=1e18,mod=1e9+7;
int a[MAXN],tmax[8*MAXN],tnxt[8*MAXN];
int n;
void build(int now,int tl,int tr){
if(tl==tr){
tmax[now]=a[tl];
tnxt[now]=-inf;
}else{
int mid=(tl+tr)/2;
build(2*now,tl,mid);
build(2*now+1,mid+1,tr);
tmax[now]=max(tmax[2*now],tmax[2*now+1]);
tnxt[now]=max(min(tmax[2*now],tmax[2*now+1]),max(tnxt[2*now],tnxt[2*now+1]));
}
}
void update(int now,int tl,int tr,int pos,int x){
if(tl==tr){
tmax[now]=x;
}else{
int mid=(tl+tr)/2;
if(pos<=mid){
update(2*now,tl,mid,pos,x);
}else{
update(2*now+1,mid+1,tr,pos,x);
}
tmax[now]=max(tmax[2*now],tmax[2*now+1]);
tnxt[now]=max(min(tmax[2*now],tmax[2*now+1]),max(tnxt[2*now],tnxt[2*now+1]));
}
}
int ans1,ans2;
void query(int now,int tl,int tr,int l,int r){
if(tl>=l&&tr<=r){
ans2=max(min(ans1,tmax[now]),max(ans2,tnxt[now]));
ans1=max(ans1,tmax[now]);
}else{
int mid=(tl+tr)/2;
if(l<=mid){
query(2*now,tl,mid,l,r);
}
if(r>mid){
query(2*now+1,mid+1,tr,l,r);
}
}
}
signed main(){
//freopen(".in","r",stdin);
//freopen(".out","w",stdout);
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
}
build(1,1,n);
int q;
cin>>q;
while(q--){
char ch;
cin>>ch;
if(ch=='U'){
int i,x;
cin>>i>>x;
update(1,1,n,i,x);
}else{
int x,y;
cin>>x>>y;
ans1=ans2=-inf;
query(1,1,n,x,y);
cout<<ans1+ans2<<"\n";
}
}
return 0;
}
