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1|0题目

计算：

$\frac{4}{1 \times 2 \times 3} + \frac{5}{2 \times 3 \times 4} + . . . + \frac{11}{8 \times 9 \times 10}$

2|0思路分析

考虑到原式的分子不同，如果分子相同就变得简单一些了，所以我们不妨将原式的分子都改成 $2$ ，那么原式变成了：

\frac{2}{1 \times 2 \times 3} + \frac{2}{2 \times 3 \times 4} + . . . + \frac{2}{8 \times 9 \times 10}

这个式子中，所有的分数都可以按如下方法进行求解：

如：

\frac{2}{8 \times 9 \times 10} = \frac{1}{8 \times 9} - \frac{1}{9 \times 10} = \frac{2}{720}

所以，这个式子的答案就是：

(\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3}) + (\frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4}) + . . . + (\frac{1}{8 \times 9} - \frac{1}{9 \times 10}) = \frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{9 \times 10} = \frac{22}{45}

先把它放这。

以原式的最后一项为例，我们考虑拆分原式的每一项，稍加思考，我们得出：

\frac{11}{8 \times 9 \times 10} = \frac{10 + 1}{8 \times 9 \times 10} = \frac{10}{8 \times 9 \times 10} + \frac{1}{8 \times 9 \times 10} = \frac{1}{8 \times 9} + \frac{1}{8 \times 9 \times 10}

先求所有前面一项的和，即

\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + . . . + \frac{1}{8 \times 9} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + . . . + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9}) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

接下来求后面一项的和，很明显

\frac{1}{8 \times 9 \times 10} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{8 \times 9 \times 10}

也就是 $\frac{1}{2} \times \frac{22}{45} = \frac{11}{45}$ （好臭啊

所以最终结果就是 $\frac{8}{9} + \frac{11}{45} = \frac{17}{15}$

最后就放一个完整的吧。

$\frac{4}{1 \times 2 \times 3} + \frac{5}{2 \times 3 \times 4} + . . . + \frac{11}{8 \times 9 \times 10}$

解：原式 $= \frac{3 + 1}{1 \times 2 \times 3} + \frac{4 + 1}{2 \times 3 \times 4} + . . . + \frac{10 + 1}{8 \times 9 \times 10}$

$= (\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{1 \times 2 \times 3}) + (\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{2 \times 3 \times 4}) + . . . + (\frac{1}{8 \times 9} + \frac{1}{8 \times 9 \times 10})$

$= (\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + . . . + \frac{1}{8 \times 9}) + \frac{1}{2} (\frac{2}{1 \times 2 \times 3} + \frac{2}{2 \times 3 \times 4} + . . . + \frac{2}{8 \times 9 \times 10})$

$= (1 - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{2} \times \frac{22}{45})$

$= \frac{8}{9} + \frac{11}{45}$

$= \frac{17}{15}$

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本文作者：shimingxin1007
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