【题解】最大异或对

最大异或对 The XOR Largest Pair

题目描述

给定 $N$ 个整数 $A_1.A_2,\cdots ,A_N$ 中选出两个进行异或计算，得到的结果最大是多少？

输入格式

第一行一个整数 $N$，第二行 $N$ 个整数 $A_1.A_2,\cdots ,A_N$。

输出格式

一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

3
1 2 3

样例输出 #1

3

提示

对于所有测试数据，$1\le n\le 100000$，保证 $A_i$ 在 int 范围内。

原题传送门

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思路分析

$n\le {10}^5$，暴力双循环枚举时间复杂度 $O(n^2)$，很明显会超时。

我们假设异或对的其中一个数确定，我们怎样使这两个数进行异或运算后的数最大呢？

两个数异或，两个数的二进制下，同一个位上不相同则这个位上异或结果为 $1$，相同则为 $0$。要使异或结果尽可能大，我们利用贪心的思想，让异或结果数位上左边尽可能是 $1$。

我们不难想到 trie 树。我们先将输入的数的二进制串建成一个 trie 树，类似于一棵 $01$ 二叉树，再枚举异或对中的其中一个数，去找和它对应的一个数，使得在一个数确定的情况下，异或的结果尽可能大。具体地，trie 树上的一个结点，看固定的这个数的对应数位上是 $0$，则走 $1$，反之亦然，除非只能走相同的，这样得到的结果一定是最大的。最后取 $n$ 个结果中最大的一个。

该解法的时间复杂度是 $O(n\log n)$。

$\mathtt{\text{AC code}}$

/*Written by smx*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=32e5+5;
#define int long long
struct node{
	int isend;
	int num[2];
}t[MAXN];
int root=1,num=1;
int n,ans;
string b[MAXN];
string ten_to_two(int n){
	string ans;
	while(n!=0){
		ans.push_back(n%2+'0');
		n/=2;
	}
	while(ans.size()<32){
		ans.push_back('0');
	}
	reverse(ans.begin(),ans.end());
	return ans;
}
int two_to_ten(string s){
	int ans=0;
	for(int i=0;i<s.size();i++){
		ans=ans*2+s[i]-48;
	}
	return ans;
}
string str;
void insert(int now,int pos){
	if(pos==str.size()){
		t[now].isend=1;
		return ;
	}else{
		if(t[now].num[str[pos]-'0']!=0){
			insert(t[now].num[str[pos]-'0'],pos+1);
		}else{
			t[now].num[str[pos]-'0']=++num;
			insert(num,pos+1);
		}
	}
}
string ret;
void query(int now,int pos){
	if(pos==str.size()){
		return ;
	}
	if(t[now].num[(str[pos]-'0')^1]!=0){
		ret.push_back((str[pos]-'0')^1+'0');
		query(t[now].num[(str[pos]-'0')^1],pos+1);
	}else if(t[now].num[(str[pos]-'0')]!=0){
		ret.push_back(str[pos]);
		query(t[now].num[(str[pos]-'0')],pos+1);
	}
}
signed main(){
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x;
		cin>>x;
		b[i]=ten_to_two(x);
		str=b[i];
		insert(1,0);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		str=b[i];
		query(1,0);
		int a,b;
		a=two_to_ten(str);
		b=two_to_ten(ret);
		ans=max(ans,a^b);
		ret.clear();
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}