【题解】最大异或对
最大异或对 The XOR Largest Pair
题目描述
给定 \(N\) 个整数 \(A_1.A_2, \cdots, A_N\) 中选出两个进行异或计算,得到的结果最大是多少?
输入格式
第一行一个整数 \(N\),第二行 \(N\) 个整数 \(A_1.A_2, \cdots, A_N\)。
输出格式
一个整数表示答案。
样例 #1
样例输入 #1
3
1 2 3
样例输出 #1
3
提示
对于所有测试数据,\(1 \le n \le 100000\),保证 \(A_i\) 在 int
范围内。
思路分析
\(n\leq 10^5\),暴力双循环枚举时间复杂度 \(O(n^2)\),很明显会超时。
我们假设异或对的其中一个数确定,我们怎样使这两个数进行异或运算后的数最大呢?
两个数异或,两个数的二进制下,同一个位上不相同则这个位上异或结果为 \(1\),相同则为 \(0\)。要使异或结果尽可能大,我们利用贪心的思想,让异或结果数位上左边尽可能是 \(1\)。
我们不难想到 trie 树。我们先将输入的数的二进制串建成一个 trie 树,类似于一棵 \(01\) 二叉树,再枚举异或对中的其中一个数,去找和它对应的一个数,使得在一个数确定的情况下,异或的结果尽可能大。具体地,trie 树上的一个结点,看固定的这个数的对应数位上是 \(0\),则走 \(1\),反之亦然,除非只能走相同的,这样得到的结果一定是最大的。最后取 \(n\) 个结果中最大的一个。
该解法的时间复杂度是 \(O(n\log n)\)。
\(\large \texttt{AC code}\)
/*Written by smx*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=32e5+5;
#define int long long
struct node{
int isend;
int num[2];
}t[MAXN];
int root=1,num=1;
int n,ans;
string b[MAXN];
string ten_to_two(int n){
string ans;
while(n!=0){
ans.push_back(n%2+'0');
n/=2;
}
while(ans.size()<32){
ans.push_back('0');
}
reverse(ans.begin(),ans.end());
return ans;
}
int two_to_ten(string s){
int ans=0;
for(int i=0;i<s.size();i++){
ans=ans*2+s[i]-48;
}
return ans;
}
string str;
void insert(int now,int pos){
if(pos==str.size()){
t[now].isend=1;
return ;
}else{
if(t[now].num[str[pos]-'0']!=0){
insert(t[now].num[str[pos]-'0'],pos+1);
}else{
t[now].num[str[pos]-'0']=++num;
insert(num,pos+1);
}
}
}
string ret;
void query(int now,int pos){
if(pos==str.size()){
return ;
}
if(t[now].num[(str[pos]-'0')^1]!=0){
ret.push_back((str[pos]-'0')^1+'0');
query(t[now].num[(str[pos]-'0')^1],pos+1);
}else if(t[now].num[(str[pos]-'0')]!=0){
ret.push_back(str[pos]);
query(t[now].num[(str[pos]-'0')],pos+1);
}
}
signed main(){
//freopen(".in","r",stdin);
//freopen(".out","w",stdout);
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
int x;
cin>>x;
b[i]=ten_to_two(x);
str=b[i];
insert(1,0);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
str=b[i];
query(1,0);
int a,b;
a=two_to_ten(str);
b=two_to_ten(ret);
ans=max(ans,a^b);
ret.clear();
}
cout<<ans;
return 0;
}