【题解】括号序列

括号序列

题目描述

我们用以下规则定义一个合法的括号序列：

（1）空序列是合法的

（2）假如 \(S\) 是一个合法的序列，则 \((S)\) 和 \([S]\) 都是合法的

（3）假如 \(A\) 和 \(B\) 都是合法的，那么 \(AB\) 和 \(BA\) 也是合法的

例如以下是合法的括号序列：(), [], (()), ([]), ()[], ()[()]。

以下是不合法括号序列的：(, [, ], )(, (][), ([()。

现在给定一些由 (, ), [, ] 构成的序列 ，请添加尽量少的括号，得到一个合法的括号序列。

输入格式

输入一行括号序列 \(S\)，只包含四种字符： (,),[,]） ，都放在一行，中间没有其他多余字符。

输出格式

输出一个整数，表示使括号序列 \(S\) 成为合法序列需要添加最少的括号数量。

样例

输入数据#1

([()

输出数据#1

2

解释#1

最少添加 \(2\) 个括号可以得到合法的序列：()[()] 或 ([()])。

数据范围

• 对于 \(10\%\) 的测试数据，\(S\) 的长度 \(≤10\)
• 另有 \(20\%\) 的测试数据，\(S\) 中仅含有左括号 ( 和 [
• 另有 \(20\%\) 的测试数据，\(S\) 中仅含有小括号 ( 和 )
• 对于 \(100\%\) 的测试数据，\(S\) 的长度 \(≤500\)

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思路分析

区间 dp 板子题。

定义 \(f_{i,j}\) 表示使区间 \((i,j)\) 成为合法序列需要添加最少的括号数量，进行状态转移。

先按区间长度从小到大枚举区间，再根据题中的 \((2)(3)\) 两点进行转移：

• 由 \((2)\)，若 \(s\) 合法，则 \((s)\) 和 \([s]\) 均合法，所以若区间 \((i,j)\) 的两个端点 \(i\) 和 \(j\) 是一对括号，则 \(f_{i,j}\) 可以是 \(f_{i+1,j-1}\)，注意只有当 \(i,j\) 合法时才可以这样转移。

  即

  \[f_{i,j}=f_{i+1,j-1} \]

• 由 \((3)\)，若 \(a\)，\(b\) 均合法，则 \(ab\)，\(ba\) 均合法，所以可以将区间 \((i,j)\) 分成两个区间，记为 \((i,k)\) 和 \((k+1,j)\)，\(f_{i,j}\) 就是最小的 \(f_{i,k}+f_{k+1,j}\)，\(k\) 是区间 \((i,j)\) 内任意一点。

  即

  \[f_{i,j}=\min(f_{i,j},f_{i,k}+f_{k+1,j}) \ i\leq k\lt j \]

最后考虑初始值，\(f_{i,i}=1\)，\(f_{i,i-1}=0\)，其余负 \(inf\)。

时间复杂度 \(O(|S|^3)\)，空间复杂度 \(O(|S|^2)\)。

\(\texttt{code}\)

/*Written by smx*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN=5e2+5,inf=1e18,mod=1e9+7;
string s;
int n;
int f[MAXN][MAXN];
signed main(){
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>s;
	n=s.size();
	s=" "+s;
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i][i]=1;
		f[i][i-1]=0;
	}
	for(int len=1;len<=n;len++){
		for(int i=1;i+len-1<=n;i++){
			int j=i+len-1;
			if(s[i]=='('&&s[j]==')'||s[i]=='['&&s[j]==']'){
				f[i][j]=min(f[i][j],f[i+1][j-1]);
			}
			for(int k=i;k<j;k++){
				f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);
			}
		}
	}
	cout<<f[1][n];
	return 0;
}