【题解】括号序列

1|0括号序列

1|1题目描述

我们用以下规则定义一个合法的括号序列：

（1）空序列是合法的

（2）假如 $S$ 是一个合法的序列，则 $(S)$ 和 $[S]$ 都是合法的

（3）假如 $A$ 和 $B$ 都是合法的，那么 $AB$ 和 $BA$ 也是合法的

例如以下是合法的括号序列：(), [], (()), ([]), ()[], ()[()]。

以下是不合法括号序列的：(, [, ], )(, (][), ([()。

现在给定一些由 (, ), [, ] 构成的序列 ，请添加尽量少的括号，得到一个合法的括号序列。

1|2输入格式

输入一行括号序列 $S$，只包含四种字符： (,),[,]） ，都放在一行，中间没有其他多余字符。

1|3输出格式

输出一个整数，表示使括号序列 $S$ 成为合法序列需要添加最少的括号数量。

1|4样例

1|0输入数据#1

([()

1|0输出数据#1

2

1|0解释#1

最少添加 $2$ 个括号可以得到合法的序列：()[()] 或 ([()])。

1|5数据范围

• 对于 $10\mathrm{\%}$ 的测试数据，$S$ 的长度 $\le 10$
• 另有 $20\mathrm{\%}$ 的测试数据，$S$ 中仅含有左括号 ( 和 [
• 另有 $20\mathrm{\%}$ 的测试数据，$S$ 中仅含有小括号 ( 和 )
• 对于 $100\mathrm{\%}$ 的测试数据，$S$ 的长度 $\le 500$

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2|0思路分析

区间 dp 板子题。

定义 $f_{i,j}$ 表示使区间 $(i,j)$ 成为合法序列需要添加最少的括号数量，进行状态转移。

先按区间长度从小到大枚举区间，再根据题中的 $(2)(3)$ 两点进行转移：

• 由 $(2)$，若 $s$ 合法，则 $(s)$ 和 $[s]$ 均合法，所以若区间 $(i,j)$ 的两个端点 $i$ 和 $j$ 是一对括号，则 $f_{i,j}$ 可以是 $f_{i+1,j-1}$，注意只有当 $i,j$ 合法时才可以这样转移。

  即

  $$f_{i,j}=f_{i+1,j-1}$$

• 由 $(3)$，若 $a$，$b$ 均合法，则 $ab$，$ba$ 均合法，所以可以将区间 $(i,j)$ 分成两个区间，记为 $(i,k)$ 和 $(k+1,j)$，$f_{i,j}$ 就是最小的 $f_{i,k}+f_{k+1,j}$，$k$ 是区间 $(i,j)$ 内任意一点。

  即

  $$f_{i,j}=min(f_{i,j},f_{i,k}+f_{k+1,j})i\le k<j$$

最后考虑初始值，$f_{i,i}=1$，$f_{i,i-1}=0$，其余负 $inf$。

时间复杂度 $O(|S{|}^3)$，空间复杂度 $O(|S{|}^2)$。

2|1code

/*Written by smx*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN=5e2+5,inf=1e18,mod=1e9+7;
string s;
int n;
int f[MAXN][MAXN];
signed main(){
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>s;
	n=s.size();
	s=" "+s;
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i][i]=1;
		f[i][i-1]=0;
	}
	for(int len=1;len<=n;len++){
		for(int i=1;i+len-1<=n;i++){
			int j=i+len-1;
			if(s[i]=='('&&s[j]==')'||s[i]=='['&&s[j]==']'){
				f[i][j]=min(f[i][j],f[i+1][j-1]);
			}
			for(int k=i;k<j;k++){
				f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);
			}
		}
	}
	cout<<f[1][n];
	return 0;
}

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本文作者：shimingxin1007
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