浅谈时间复杂度

1|0时间复杂度

1|1定义

衡量一个算法的快慢，一定要考虑数据规模的大小。所谓数据规模，一般指输入的数字个数、输入中给出的图的点数与边数等等。一般来说，数据规模越大，算法的用时就越长。而在算法竞赛中，我们衡量一个算法的效率时，最重要的不是看它在某个数据规模下的用时，而是看它的用时随数据规模而增长的趋势，即 时间复杂度。

​ ——OI Wiki

在算法中，使用时间复杂度来衡量程序运行时间的多少。每条语句执行的次数称为该语句的频度，整段代码的总执行次数则称为整段代码的频度。在算法竞赛中，由于输入可以在给定的数据范围内任意给定，我们为保证算法能够通过某个数据范围内的任何数据，一般考虑最坏时间复杂度。

下面，我将用更通俗易懂的语言，解释时间复杂度。

1|2分析

在推导的时候，我们应该采用无限大的思想来简化大 $O$ 表达式，具体如下：

1.用常数 $1$ 代替运行时间中的所有加法的常数。无论常数是多少都使用 $1$ 替换。因为执行函数和问题规模 $n$ 的大小无关，它是执行时间恒定的，像时间复杂度为$O(1)$ 的又被称作常数阶。如：执行 $100$ 次 $1\to n$ 的循环，这份代码的时间复杂度为 $O(n)$ 而并非 $O(100n)$。

2.如果最高阶项存在且系数不为 $1$，则去除掉与这个项相乘的系数，例如 $O(2n^2)$ 系数为 $2$，直接简化为 $O(n^2)$。

3.如果表达式有多项含有无限大变量的式子，只保留一个拥有指数最高的变量的式子。如 $O(2n^2+2n)$ 应简化为 $O(n^2)$。

经过上面三个步骤推到出来的结果就是算法对应的大 $O$ 阶。

注意，在遇到类似于 $O(2n+m)$ 的时间复杂度时，由于 $n$ 和 $m$ 之间没有联系，所以这份代码的时间复杂度应是 $O(n+m)$。在遇到类似于 $O(n^2+nq)$ 的时间复杂度时，由于我们无法确定 $n^2$ 和 $nq$ 的大小（$n$ 和 $q$ 的大小不确定），因此这份代码的时间复杂度依然是 $O(n^2+nq)$。

1|0举例：

• $O(12)\to O(1)$

• $O(2n+3)\to O(n)$

• $O(3n^2+2n+1)\to O(n^2)$

• $O(5{\log }_{2}n+20)\to O(\log n)$

• $O(2n+3n{\log }_{2}n+19)\to O(n\log n)$

• $O(6n^3+2n^2+3n+4)\to O(n^3)$

• $O(2^n+n^4)\to O(2^n)$

1|3Another

1|0哪些数是常数？

我们曾提到，“用常数 $1$ 代替运行时间中的所有加法的常数”，那么，什么是常数呢？

我们一个例子看起。

const int n=114514;
for (int i=1;i<=n;i++){
    cout<<"hello world\n";
}

代码中，$MAXN$ 虽然是一个变量，但是它的值是固定的，所以它不被看做输入数据规模，所以代码的时间复杂度是 $O(1)$ 而不是 $O(n)$。

进行时间复杂度计算时，哪些变量被视作输入规模是很重要的，而所有和输入规模无关的量都被视作常量，计算复杂度时可当作 $1$ 来处理。

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本文作者：shimingxin1007
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