集合相关概念

 

本章概览
　　基本概念
　　　　集合与元素
　　集合类型
　　　　有限集合
　　　　无限集合
　　　　　　可数集合
　　　　　　不可数集合
　　　　子集
　　　　空集
　　　　全集
　　集合关系
　　　　集合的相等

 

集合：具有某种特定性质的事物的总体，称为集合，简称集，如全体正整数集合，全体实数集合

　　

元素：组成集合的事物，称为元素，简称元

　　　元素a属于集合A，读作a属于A，记作$ a \in A $

　　　元素a不属于集合A，读作a不属于A，记作$ a \notin A $ 

　　

有限集合无限集　　

　　有限集：只含有有限个元素的集合，称为有限集，如全体英文字母构成的集合

　　无限集：含有无限个元素的集合，称为无限集，如全体整数构成的集合

　　一个集合是无限集的充分必要条件是该集合可以与它的一个真子集建立一一对应

　　有限集不可能与它的任何子集建立一一对应

　　

可数集与不可数集

　　可数集：能与自然数集N={1,2,3,...n,...}建立一一对应的无限集，称为可数集，如自然数集，整数集，有理数集(这3个集合的元素是一样多的)

　　不可数集：不能与自然数集N={1,2,3,...n,...}建立一一对应的无限集，称为不可数集，如无理数集，任何区间(a,b)(a<b)

　　

子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集

　　　记作$A \subset B$，读作A包含于B，或记作$B \supset A $，读作B包含A

　　　$ A \subset B \Leftrightarrow (\forall x \in A \Rightarrow x \in B)$

　　　真子集：如果A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，则称A为B的真子集，记作$A \subsetneqq B$

 　　

空集：不包含任何元素的集合，称为空集，记作$\varnothing$，空集是任何集合A的子集，即$\varnothing$ $\subset A$

　　

全集：所研究的对象的全体，称为全集，全集一般记作$U$

　　　全集是一个相对概念，所研究的对象所组成的任何集合A都是全集U的子集，即$A \subset U$

　　　如当研究的对象是全体实数时，可将实数集R作为全集

 　　

集合的相等：如果集合A和集合B含有完全相同的元素，则称A与B相等，记作A=B

　　　　　　A=B的充分必要条件是$A \subset B$且$B \subset A$

 

 

 

　　 

　　

 

集合的表示法

　　列举法：按某种方式列出集合中的全体元素

　　　　例：有限集合 $ A = \{ a_{1},a_{2}, …,a_{n} \} $ = $\{{a_{i}\}}_{i=1}^n$

　　　　　　自然数集 $ N = \{ 0,1,2,…, n, … \} = \{ n \}$

　　　　注：$M$为数集，则

　　　　　　$M^{*}$表示$M$中排除0的集

　　　　　　$M^{+}$表示$M$中排除0与负数的集

　　描述法：$M = \{ x | x所具有的特征\}$

　　　　例：整数集合 $ Z = \{ x | x \in N\ 或  -\!x \in N^{+} \} $

　　　　　　有理数集 $ Q = \{ \frac{p}{q} | p \in Z , q \in N^{+} , p与q互质 \} $

　　　　　　实数集合 $ R = \{x | x为有理数或无理数\} $

 

$ f(x)=\left\{ \begin{aligned} x & = & \cos(t) \\ y & = & \sin(t) \\ z & = & \frac xy \end{aligned} \right. $