P4296 [AHOI2007]密码箱

\(x\)是密码，\(\gcd(x,n)\)也是密码 证明显然

\(x\)和\(y\)是密码，\(\gcd(x,y)\)也是密码

证明：设\(x,y\)是密码，\((px+qy)\%n\)也是密码 \(ax+by=\gcd(x,y)\)有解

所以\(ax+by\equiv\gcd(x,y)(mod~n)\)有解

因为\(ax+by\equiv ax+by+pnx+qnx(mod~n)\)

即\((a+pn)*x+(b+qn)*y\equiv\gcd(x,y)\)一定有解

进而\(\gcd(x,y)\)是密码

令\(l=\gcd(a[k],n)\)，处理出\(l\)所有因子，筛去因子为\(\gcd(l,不是密码的数)\)的因子，根据结论2，这些因子不是密码，找出最小的因子，输出\(n/k\)

ll a[N],q[N<<1],f[N<<1],i,j,ans,tot,n,k;
int main(){
    n = read(); k = read();
    for(i = 1;i <= k;++i)
    	a[i] = read();
    a[k] = __gcd(a[k],n);
    for(i = 1;i < k;++i)
    	a[i] = __gcd(a[i],a[k]);
    for(i = 1;i * i <= a[k];++i)
    	if(a[k] % i == 0){
        	q[++tot] = i;
        	if(i * i != a[k]) q[++tot] = a[k]/i;
    } 
    sort(q + 1,q + tot + 1);
    for(i = 1;i < k;++i)
    	f[lower_bound(q + 1,q + tot + 1,a[i]) - q] = 1;
    for(i = 1;i <= tot;++i)
     	if(f[i])
      		for(j = 1;j < i;++j)
       			if(q[i] % q[j] == 0)
        			f[j] = 1;
    for(ans = 1;f[ans];++ans);
     	write(n/q[ans]);
}