P4492 [HAOI2018]苹果树

有一个显然的套路

\(i\)的父边对总距离和贡献为\(siz_i(n-siz_i)\)

在序列问题中有一个非常常见的套路是取任意一个“分割点”然后分别考虑分割点左边和右边的情况，两个乘起来就是我们要求的序列个数

同理我们在树上也可以采取类似的套路，删掉一条边，考虑分开的两个联通块的方案数，两个乘起来就是合法树的个数了

考虑\(i\)子树的情况，从形态讲，树一共会有\(siz_i!\)种不同形态，从树点编号讲，一共有\(\large {siz_i-1\choose n-i}\)种编号，已经选了\(n-i\)个点，选了\(i\)，再选\(siz_i-1\)

因为要从上向下生成树，所以保证子树点编号比\(i\)大来满足，所以子树方案数\(\large siz_i!{siz_i-1\choose n-i}\)

考虑子树外的情况

生成\(i\)之前共\(i!\)种不同方式，生成\(i\)后是不可将点放在\(i\)子树中，后面的点有\((i+1-2),(i+2-2),(i+3-2)...(n-siz_i+1-2)\)的生成方式

化简\(i(i-1)(n-siz_i-1)!\)

子树外的方案\(\large siz_i!{siz_i-1\choose n-i}i(i-1)(n-siz_i-1)!\)

总方案

\[\sum_{i=2}^n\sum_{siz=1}^{n-i+1}siz_i!{siz_i-1\choose n-i}i(i-1)(n-siz_i-1)! \]

const int N = 2005;
ll mod,dp[N][N],fac[N],c[N][N],res;int n;
int main(){
	scanf("%d%lld",&n,&mod);fac[0] = 1; dp[1][1] = 1;
	for(int i = 0;i <= n;++i) c[i][i] = c[0][i] = 1;
	for(int i = 0;i <= n;++i)
		for(int j = 1;j < n;++j)
			c[j][i] = (c[j-1][i-1] + c[j][i-1]) % mod;
	for(int i = 1;i <= n;++i) fac[i] = fac[i-1] * i % mod;
	for(int i = 2;i <= n;++i)
		for(int j = 1;j <= i;++j)
			dp[i][j] = fac[i-2] * j % mod * (j-1) % mod;
	for(int i = 2;i <= n;++i)
        for(int j = 1;j <= n-i+1;++j)
            (res += fac[j]*c[j-1][n-i]%mod*j*(n-j)%mod*dp[n-j+1][i]) %= mod;
    printf("%lld",res);
}