CF757E

CF757E Bash Plays with Functions

\(f_r(n):\)

在\(r=0\)，\(p*q=n\)且\(gcd(p,q)=1\)的有序对\((p,q)\)个数

在\(r\ge1\)，\(f_r(n)=\large\sum\limits_{u*v=n}\frac{f_{r-1}(u)+f_{r-1}(v)}2\)

\(r=0\)

因为\(a*b=n\)，\(gcd(a,b)=1\)，\(a\)和\(b\)平分了\(n\)的所有质因子

把\(\large p_i^{k_i}\)分成两份，方案数为\(2^{w(n)}\)，\(w(n)\)为\(n\)的质因子个数，\(f_0(n)=2^{w(n)}\)

显然\(f_0\)为积性函数

\(r\ge1\)

变一个式子\(\large f_r(n)=\sum\limits_{d|n}\frac{f_{r-1}(d)+f_{r-1}(\frac nd)}2\)，\(d\)和\(\large\frac nd\)对称的

把分母\(2\)打掉，\(f_r(n)=\large\sum\limits_{d|n}f_{r-1}(d)\)

这是个狄利克雷卷积式子，\(f_r=f_{r-1}×1\) \(f_r\)是积性函数

\(f_r(n)=\prod f_r(p^{k_i})\)

const int N = 1e6 + 5,K = 20,mod = 1e9 + 7;
int dp[N][K],sum[K] = {1},low[N];
void getprime(){
	for(int i = 2;i < N;++i)
		if(!low[i])
			for(int j = i;j < N;j += i) low[j] = i;
}
void init(){
	getprime();
	for(int i = 0;i < N;++i) dp[i][0] = 1;
	for(int i = 1;i < K;++i)
		dp[0][i] = 2,sum[i] = sum[i-1] + dp[0][i];
	for(int i = 1;i < N;++i)
		for(int j = 1;j < K;++j){
			dp[i][j] = sum[j]; sum[j] = (sum[j - 1] + dp[i][j]) % mod;
		}
}
ll ans = 1;
int main(){
	init(); int Q,r,n; Q = read();
	while(Q--){
		r = read(); n = read();
		ans = 1;int cnt,p;
		while(n != 1){
			cnt = 0;p = low[n];
			while(!(n % p)) ++cnt, n /= p;
			ans = ans * dp[r][cnt] % mod;
		}
		printf("%d",ans); putchar('\n');
	}
}