nyoj144 小珂的苦恼

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#include<stdio.h> inline int gcd(int a,int b) {     return b?gcd(b,a%b):a; } int main() {     int T,a,b,k,n;     scanf("%d",&T);     while(T--)     {         scanf("%d%d%d",&a,&b,&n);         k=gcd(a,b);         if(n%k) puts("No");         else puts("Yes");     }     return 0; }

本题主要用到的是扩展欧几里德定理: 对于与不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数那么存在唯一的整数 x，y.使得 gcd（a，b）=ax+by;

先介绍一下：

“扩展欧几里德原理”是由“欧几里德原理”扩展来的，有的书上叫“费蜀（Bezout）定理”，总之有个这个事

c=gcd(a,b)表示a，b两数的最大公约数，则存在：ax+by=c一定存在整数x，y使等式成立

先说一下“欧几里德原理”，其实就是“辗转相除法”，也就是中国老祖先的“更相减损之术”，这个算法的主要目的是求出两个数的最大公约数，具体是一个递归的过程，简单说来是：

gcd（a,b）=gcd(b,a mod b)

终止条件是：gcd（a,b）中的a mod b=0，然后输出b

下面是这个定理的推导过程:

证明“欧几里德原理（算法）”：

设a,b,c为三个不全为零的整数，且有整数t使：a=b*t+c，则a、b与b、c有相同的公约数，因而，gcd(a,b)=gcd(b,c)，即gcd(a,b)=gcd(b,a-b*t)（证明这个：d是a,b的公约数，则设a=d*i，b=d*j，由a=b*t+c => c=a-b*t => c=d*(i-j*t)，所以，d也是c的公约数）

欧几里德算法（辗转相除法）的工作过程如下：

1、a=b*q[1]+r[1]

2、b=r[1]*q[2]+r[2]

3、r[1]=r[2]*q[3]+r[3]

.

.

.

n、r[n-2]=r[n-1]*q[n]+r[n]

n+1、r[n-1]=r[n]*q[n+1]+r[n+1]

此时，r[n+1]=0，因为每次带余除法，余数至少减一（因为余数比除数小，这里以第一个式子为例，这个式子相当于a除以b商q[1]余r[1]，这里一定存在b>r[1]），即b>r[1]>r[2]>r[3]>…>r[n]>r[n+1]=0，而b为有限数，因此必有一个最多不超过b的正整数n存在，使得r[n]>0，而r[n+1]=0，故有

r[n] =gcd(r[n],r[n-1])=…=gcd(r[2],r[1])=gcd(r[1],b)=gcd(a,b)

这就是“欧几里德原理（算法）”的证明，

下面是扩展“欧几里德原理（算法）”的证明：

其实，刚才已经证明了，因为就是辗转相除法的递推过程，然后就是以此把上述递推式迭代累加，化简就不用了，只要写得有些规律，能看出a，b的系数及一些常数项就行了，我得到的是整数倍的a+整数倍的a+整数倍的c=c这个等式，然后再化简可以得到这样的结果c=r[n]=ax+by，此时就证明扩展欧几里德定理了。

有一种特殊情况，就是当gcd(a,b)=1时，存在ax+by=1，x,y存在唯一整数解。

结论（大家都可以记住的）：

a*x+b*y=gcd（a，b）x，y一定有整数解，且是唯一的！！

当然如果不好懂得话，可以这样粗略证明:

• 存在唯一的整数 x，y
• 使得 gcd（a，b）=ax+by

–      a是gcd的倍数，可设a=i*gcd

–      b是gcd的倍数，可设b=j*gcd

–      现在要用整数个a,b凑出gcd来

–      为了分析方便，不妨设a>b

–      不难看出：a-b可被表示出来，且它也是gcd的倍数

–      因此gcd(a,b)=gcd(b,a-b)=gcd(a,a-b)

–      实际上如果a=n个b+余数，则可以把n个b都减去

–      再怎么减，都是gcd的倍数

–      当n足够大时：a-nb=a mod b

–      因此gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

–      欧几里德定理证明结束

–      从上边证明过程可以看出a-b,a-2b,a-3b,……a-nb都可以被表示出来，且x,y都是整数解

–      当n足够大时：a-nb=a mod b

–      即 a mod b可被表示出来，且x,y为整数解

–      gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)等价，且x,y都为整数解

–      相同子问题

–      最终gcd可以被表示出来

这种题考的就是数学知识！！！表示无语！！