Morituri te salutant

[AGC057D] Sum Avoidance

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本篇题解大部分内容来自这篇文章

首先题意翻译:

给定一个正整数 \(S\) ,称一个正整数集合 \(A\) 是好的,当且仅当它满足以下条件:

  1. \(A\) 中元素在 \((0,S)\) 之间

  2. 不能用 \(A\) 中元素多次相加得到 \(S\)

考虑所有好的集合中元素数量最大且字典序最小的集合 \(A\) ,多次询问,求集合 \(A\) 从小到大排序后的第 \(k\) 项,或集合大小小于 \(k\)

$ T \le 1000 , S \le 10^{18} $


解法

这什么神仙题啊光是理解题解就好困难啊

先考虑性质2:

首先容易发现 \(i,S-i\) 只能在集合中存在一个,若 \(S\) 为偶数则 \(\frac{S}{2}\) 也不能存在于集合中,所以集合的大小小于等于\(\left\lfloor\dfrac{S-1}{2}\right\rfloor\)

其次,把所有大于 \(\left\lfloor\dfrac{S}{2}\right\rfloor\) 的整数取进集合必然满足条件,所以最大集合的大小一定为\(\left\lfloor\dfrac{S-1}{2}\right\rfloor\)

且若要满足集合大小最大,对于 \(i< \dfrac{S}{2}\)\(n-i\)\(i\) 一定有一个在集合中。

我们设所有集合 \(A\)\(< \dfrac{S}{2}\)的元素构成集合 \(B\),显然 \(B\)\(A\) 的子集,且确定 \(B\) 即可确定 \(A\)

\(B\) 有以下性质:

\[如果 a,b \in B ,且 a+b < \dfrac{S}{2},则 a+b \in B。 \]

原因是如果 \(a+b \notin B\),则 \(n-(a+b)\),一定在 \(A\)中,那么 \(a,b,n-(a+b)\) 同时在集合 \(A\) 中,显然不满足条件。

考虑满足该性质的集合 \(B\) 及对应的 \(A\),当它不合法,即 \(A\) 中的数多次相加能拼成 \(S\) 时,若拼成 \(S\) 的数中有一个大于等于 \(\dfrac{S}{2}\)(即在集合 \(A\) 但不在集合 \(B\) 中) ,则这种情况必定不满足性质1,所以我们只需要考虑集合 \(B\) 是否合法即可。

那么接下来就是构造了,由于我们要构造字典序最小的 \(A\) ,所以只需从小往大依次枚举每个数,尝试贪心的将其加入 \(B\) ,最后得到的 \(B\) 及其对应的 \(A\) 就是我们所需要的集合 \(A\) 了。

加入数时有两种情况:

1.该数能被已经在 \(B\) 中的数组合出,那么这个数必须加,显然加入它之后集合仍旧合法。

2.当非第一种情况时,若加入该数不会使集合 \(B\) 不合法,加入该数。

我们设第一个加入集合 \(B\) 的数为 \(d\) ,容易发现,\(d\) 一定是最小的与 \(S\) 互质的数,并且在此之后每当我们用第 \(2\) 种方式加入新数时,该数一定与已经在集合中的所有数模 \(d\) 不同余(同余的话可以由已经在集合中的同余的数和若干个 \(d\) 组合出)。也就是说,以第二种方式加入的数最多只有 \(d\) 个。

接下来就来到了同余最短路的相关部分,考虑对于每个 \(i\in{0,1,···,d-1}\) 记录一个 \(f_i\) 表示已经在 \(B\) 的数可以构造出的 \(\equiv i (\mod d )\)的最小值。

显然,\(f\) 不会被第一种情况加入的数影响,且最后由 \(f\) 可以得到整个 \(B\) 集合(下文讲具体方法)。

先考虑以第二种方式加入一个数 \(v \equiv x (\mod d)\),首先一定有 \(f_x>v\) (否则就是以第一种方式加入了),可以通过枚举加入的 \(v\) 用了多少次更新 \(f\) 数组,即:

\[f_i=\min\limits_{k=0}^{d-1}f_{i-k*x \mod d}+v*k \]

一个数\(v\)能被加入当且仅当 \(f_x>v\) 且加入后 \(f_{S \mod d}>S\)。我们不妨枚举 \(x\),容易发现,对于每个 \(x\) ,加入的合法的 \(v\) 有其下界 \(dn\) ,大于等于 \(dn\)\(\equiv x(\mod d)\) 且小于 \(f_x\) 的数均可加入,从而可以得到当前 \(x\) 下第一个能加入的数。(当然也可能根本不存在能加入的数)

于是我们可以对每一个 \(x\) 找到其能加的数,取其中最小的就是下一个能加的数,重复至多 \(d\) 次即可得到最终的 \(f\) 数组。

接下来就可以还原 \(B\) 了,若一个数 \(t\in B\),当且仅当 \(t < \frac{S}{2}\)\(t\ge f_{t \mod d}\)

此时容易\(O(d)\)求得 \(B\) 集合内小于等于某个数的元素个数,于是可以二分求得最终答案。复杂度为 \(O(d \log S)\),若答案\(> \frac{S}{2}\),也可以反向类似二分。

考虑 \(d\) 的范围,容易发现 \(d\)\(10^{18}\) 次以内最大为 \(43\)\(lcm(1,2,···,43)\geq 10^{18}\))。而事实上,\(d=O(\log S)\)

点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
#define N 50
#define M 2000010
#define pii pair<int,int>
#define mkp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define int long long
//#define MOD
#define INF 1061109567
#define int_edge int to[M],nxt[M],head[N],cnt=0;
using namespace std;
int S,k,d,f[N],in[N];
//int_edge;void add_edge(int x,int y ){to[++cnt]=y;nxt[cnt]=head[x];head[x]=cnt;}
//int_edge;int val[M];void add_edge(int x,int y,int z){to[++cnt]=y;val[cnt]=z;nxt[cnt]=head[x];head[x]=cnt;}
int check(int nw){
	int tmp=0;
	for(int i=0;i<d;i++)
		if(nw>=f[i])tmp+=(nw-f[i])/d+1;
	return tmp; 
}
queue<int>q;
void spfa(int nw){
	for(int i=0;i<d;i++)q.push(i),in[i]=1;
	while(!q.empty()){
		int u=q.front(),v=(u+nw)%d;q.pop();in[u]=0;
		if(f[v]>f[u]+nw){f[v]=f[u]+nw;if(!in[v])q.push(v),in[v]=1;}
	}
}
int solve(){
	scanf("%lld %lld",&S,&k);
	if(k>(S-1)/2)return -1;
	if(S==3)return 2;
	if(S==4)return 3;
	if(S==6)return k+3;//d>=S/2
	d=1;while(S%d==0)d++;
	for(int i=1;i<d;i++)f[i]=1e18;
	while(1){
		int v=1e18;
		for(int x=1;x<d;x++){//枚举x,容易发现x肯定不是0
			int dn=0;
			for(int k=1;k<d;k++){//枚举k,容易发现k取0肯定也不优
				int lst=(S-x*k+d*d)%d;//加上d*d用于防负数
				dn=max(dn,(S-f[lst])/k+1);
			}
			if((dn+d-x)%d)dn+=d-(dn+d-x)%d;//确保算出来的下界mod d = x
			if(dn<f[x]&&dn<v)v=dn;
		}
		if(v>=S/2)break;
		spfa(v);//更新f
	}
	int l=1,r=S/2,ans=-1;
	while(l<=r){
		int mid=(l+r)/2;
		if(check(mid)>=k+1)ans=mid,r=mid-1;//注意此处由于算入了0所以要与k+1相比
			else l=mid+1;
	}
	if(ans!=-1)return ans;
	l=1,r=S/2,k=(S-1)/2+1-k;
	while(l<=r){
		int mid=(l+r)/2;
		if(mid-check(mid)+2>=k+1)ans=mid,r=mid-1;//同样是由于算0
			else l=mid+1;
	}
	return S-ans;
}
signed main()
{
	int T;scanf("%lld",&T);
	while(T--)printf("%lld\n",solve());
	return 0;
}




后记:这个题折磨了我半个下午加半个晚上,不过也算是迄今为止做过的最难的题之一了,还是很有收获的。以及我真的很想吐槽一下,我函数里重复定义了 \(d\) 调了快1个小时

posted @ 2022-11-06 20:29  shight  阅读(252)  评论(0编辑  收藏  举报