[算法笔记]分块算法从入门到TLE

分块算法在学习之前一直觉得是一个高端大气上档次，有着与众不同的O（√N）的时间复杂度。

（打公式真是太烦了，不过如果我不打公式zichen0535巨佬肯定又要嘲讽我。。。）

直到我阅读多方博客，才发现，这tm就是一个流氓算法。

对于区间问题，

我们把要处理的所有元素从左到右分成M个等长区间（以下称“块”）和最后一个比正常块略小的块，那么显然除了最后一个区间，每个区间的长度都是，最后一个区间长度是N%M。

可以证明M等于√N的时候，时间复杂度最低，这个分析完原理后再证明。

需要维护的信息有：

belong[x]:元素x所在的块的编号，样例代码中为bl[x];

start[x]:编号为x的块的最左边的点，样例代码中为st[x];

end[x]:编号为x的块的最右边的点，样例代码中为ed[x];

我们处理一个l到r的操作的时候，分类讨论一下

如果l和r在一个块中或者l和r在相邻块中，那么直接从l到r暴力处理一遍，处理的次数一定小于块的大小，也就是M。

如果l所在的块和r所在的块中间还有其它块，那么我们先暴力处理l到l所在块的右端，然后暴力处理r所在区间的左端到r，处理次数小于2*M。然后处理中间的块，因为块的处理非常方便，可以另外建立数组维护块的变化信息（如加上某个值），所以我们每个块只需要处理一次，那么我们处理次数少于次。

所以我们的复杂度分析就是O（M+）。根据基本不等式（ ）可知，在M=时取得最小值√N。解得M=√N时取得最小值。

所以我们在解决一般的题目时都会把所有元素分成√N个区间。

那么对于Q个操作，最终时间复杂度就是O（Q√N）。

这里给一道例题（奇水）     传送门

附上我的代码（略丑）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define maxn 100005
using namespace std;
inline void read(int &x){
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    x*=f;
}
inline void read(long long &x){
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    x*=f;
}
int N,M,len,tot;
int st[maxn],ed[maxn],bl[maxn];
long long add[maxn],arr[maxn],sum[maxn];
void init()
{
    len=sqrt(N);
    tot=N/len;
    if(N%len)
        tot++;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        bl[i]=(i-1)/len+1;
        sum[bl[i]]+=arr[i];
    }
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
        st[i]=(i-1)*len+1;
        ed[i]=i*len;
    }
}
void update(int l,int r,long long k)
{
    if(r<=ed[bl[l]])
    {
        for(int i=l;i<=r;i++)
        {
            arr[i]+=k;
            sum[bl[i]]+=k;
        }
        return ;
    }
    for(int i=l;i<=ed[bl[l]];i++)
    {
        arr[i]+=k;
        sum[bl[i]]+=k;
    }
    for(int i=bl[l]+1;i<bl[r];i++)
    {
        sum[i]+=len*k;
        add[i]+=k;
    }
        
    for(int i=st[bl[r]];i<=r;i++)
    {
        arr[i]+=k;
        sum[bl[i]]+=k;
    }
}
long long query(int l,int r)
{
    long long ans=0;
    if(r<=ed[bl[l]])
    {
        for(int i=l;i<=r;i++)
        {
            ans+=arr[i];
        }
        return ans;
    }
    for(int i=l;i<=ed[bl[l]];i++)
        ans+=arr[i]+add[bl[i]];
    for(int i=bl[l]+1;i<bl[r];i++)
        ans+=sum[i];
    for(int i=st[bl[r]];i<=r;i++)
        ans+=arr[i]+add[bl[i]];
    return ans; 
}
int main()
{
    read(N);read(M);
    for(int i=1;i<=N;i++)
        read(arr[i]);
    init();
    int op,l,r;
    long long k;
    while(M--)
    {
        read(op);read(l);read(r);
        if(op==1)
        {
            read(k);
            update(l,r,k);
        }
        else
        {
            printf("%lld\n",query(l,r));
        }    
    }
}