[初等数论]拓展欧几里得

注：本文写于2017年，于2021年11月对推导部分重新排版。

裴蜀定理大家应该都知道，对于任意一组互质的a，b必有一组x，y满足 \(ax+by=(a,b)(即gcd(a,b))\) 那么给定a，b，求一组x，y满足这个定理，就要用到拓展欧几里得。
推导过程：

\[ax+by=(a, \,b) \]

由欧几里得辗转相除法得：

\[(a,\,b)=(b, \,a \;mod \;b) \]

\[(b,\, a\; mod\; b)=bx_2+(a\; mod\; b)y_2 \]

\[令q_1 = \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \]

\[因为a\; mod\; b=a-q_1 b \]

\[所以(b,\,a\; mod\; b)=bx_2+(a- q_1 b)y_2=bx_2+ay_2-q_1 by_2=ay_2+b(x2-q_1 y2) \]

\[即ay_2+b(x_2-qy_2)=ax_1+by_1 \]

根据恒等式定理得$$x_1=y_2$$$$y_1=x_2-q_1 y_2$$
同理

\[x_i = y_{i+1} \]

\[y_i = x_{i+1} - q_i y_{i+1} \]

因此可以知道x和y都可以由辗转相除的下一个状态得到
只要我们就写一个递归，就能得到x，y的值了
那么考虑递归边界(a,0)
它必有一个前驱子状态(aq,a)
要满足aqx+ay=a
我们取y=1，x=0
那么在(a,0)下
x=1，y=0
所以我们的递归就出来了:

#include<iostream>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int q=exgcd(b,a%b,y,x);//交换 y和x的位置可以直接使x1=y2，简化了代码
	y-=a/b*x;
	return q;
	
}
int main(){
	int a,b,x,y;
	cin>>a>>b;
	exgcd(a,b,x,y);
	cout<<x<<" "<<y;
}

感谢同机房的同学让我对拓展欧几里得的理解更深了：

扩展欧几里得算法是指对于两个数a,b。一定能找到x,y（均为整数，但不满足一定是正数）满足xa+yb=gcd(a,b).gcd（x,y)是指x 与 y的最大公约数。

也就是说，找到了一个特解，所有解都可以求出。

怎么求呢？

假设x1 与 y1就是一组特解，那么全部解就有：

我们知道，当被减数与减数同时加上一个数，那么他们的差是不变的。(x1a+y1b=x1a-(-y1b)=gcd(x,y))

现在，我们要保证xna与—ynb的差也要是gcd(a,b)，那么我们得对ax1与-y1b同时加上一个数，又要保证加完这个数后，他还是a和b的倍数，就是说，这个数要是a的倍数，也要是b的倍数。那么加上的数只能是a与b的最小公倍数的倍数。

总结一下，

就是说：

所有的解为：

Xn=X1+b*t/gcd(a,b).

Yn=-Y1+a*t/gcd(a,b).

为什么是这些算式，请自行思考

具体代码可以是循环也可以用递归实现，我就不具体打了