[Usaco2011][bzoj2442][洛谷2527]修剪草坪解题报告（dp，贪心，单调队列）
题目描述
在一年前赢得了小镇的最佳草坪比赛后，Farm John变得很懒，再也没有修剪过草坪。现在，新一轮的最佳草坪比赛又开始了，Farm John希望能够再次夺冠。
然而，Farm John的草坪非常脏乱，因此，Farm John只能够让他的奶牛来完成这项工作。Farm John有N(1 <= N <= 100,000)只排成一排的奶牛，编号为1...N。每只奶牛的效率是不同的，奶牛i的效率为E_i(0 <= E_i <= 1,000,000,000)。
靠近的奶牛们很熟悉，因此，如果Farm John安排超过K只连续的奶牛，那么，这些奶牛就会罢工去开派对:)。因此，现在Farm John需要你的帮助，计算FJ可以得到的最大效率，并且该方案中没有连续的超过K只奶牛。
输入输出格式
输入格式：第一行：空格隔开的两个整数 N 和 K
第二到 N+1 行：第 i+1 行有一个整数 E_i
输出格式：第一行：一个值，表示 Farm John 可以得到的最大的效率值。
输入输出样例
输入样例：
5 2 1 2 3 4 5
输出样例： 12这道题有点小难，我调了一个下午才搞定。我们先来看看题面，要在一个N长的区间里，挑选区间，区间长不大于K，求最大值。
想要直接得到正解的读者请直接看文章后半部分。
我的第一个想法是用一个状态f[i][j]来记录，表示处理到当前数组的第i位连续使用了j个数字。
每一个i可以递推出两个状态：使用这个数字，不使用这个数字。
那么方程就是 f[i+1][j+1]=max(f[i+1][j+1],f[i][j]+arr[i+1])
于是就有了这样的代码。
#include<iostream>
using namespace std;
long long dp[100001][100001];
long long arr[100001];
int main()
{
int n,k;
cin>>n>>k;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>arr[i];
dp[1][0]=arr[1];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
dp[i][0]=arr[i];
for(int j=0;j<=k;j++)
{
dp[i+1][j+1]=max(dp[i+1][j+1],dp[i][j]+arr[i+1]);
dp[i+1][0]=max(dp[i+1][0],dp[i][j]);
}
dp[i+1][0]=max(dp[i+1][0],dp[i][10]);
}
long long ans=0;
/*for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=k;j++)
cout<<dp[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}*/
for(int i=1;i<=k;i++)
ans=max(ans,dp[n][i]);
cout<<ans;
}面对这种问题，只有一种令人崩溃的调试方法：重构代码。
于是我又想（借鉴）了一种方程。
用sum来存每一位的前缀和
dp[i]=max(dp[j]+sum[i]-sum[j+1])
j从j-K-1遍历到i-1；
这个不太好理解
表示的是每对一个数据，都往前考虑k个数，因为不能有连续k个数，所以在这k个数里面必须有一个数的值被删掉。这里j表示j的下一位被删了。所以我们到i时的值分为三部分，j及之前可以得到的最大值dp[j]和j+2到i的和。
j+2到i的合就用我们维护的前缀和来处理，它的值就是sum[i]-sum[j+2-1]也就是sum[i]-sum[j+1];
算法复杂度是O（n^2)
方程里面，sum[i]是定值，只要求出dp[j]-sum[j+1]的最大值就行，这两个是挨着的，一路维护下来就行。忽然知道老师给我们这道题的图谋不轨了，昨天刚讲了单调队列。
所以，这道题用单调队列来维护最大值并优化dp！！
于是有了下面的AC代码
注意队列必须从0开始放，不然k=1的时候，第一个数据不会被pop掉。我就因为这个细节调了一个小时。
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
struct node{
int size;
long long num;
};
int N,K;
node queue[100001];
long long arr[100001];
long long dp[100001];
long long head,tail;
void push(int a)
{
while(dp[a]-arr[a+1]>queue[tail].num&&tail>=head-1)
tail--;
queue[++tail].num=dp[a]-arr[a+1];
queue[tail].size=a;
}
int main()
{
memset(queue,0,sizeof(queue));
memset(dp,0,sizeof(dp));
head=1;tail=0;
cin>>N>>K;
for(int i=1;i<=N;i++)
{
cin>>arr[i];
arr[i]+=arr[i-1];
}
for(int i=0;i<=K;i++)
{
dp[i]=arr[i];
push(i);
}
for(int i=K+1;i<=N;i++)
{
if(queue[head].size<i-K-1)
head++;
dp[i]=arr[i]+queue[head].num;
push(i);
}
cout<<dp[N]<<endl;
}
