Algebra 第二章笔记 群

群 一个非空集合 $G$ 以及定义在 $G$ 上的一个二元运算 $\cdot$ (通常用乘表示), 若满足:

1. 封闭性: $\mathrm{\forall }a,b\in G$, $ab\in G$.
2. 结合律: $\mathrm{\forall }a,b,c\in G$, $(ab)c=a(bc)$.
3. 单位元: 存在一个$e\in G$, 使得$\mathrm{\forall }a\in G$, $ae=ea=a$.
4. 逆元: $\mathrm{\forall }a\in G$, 存在一个逆元 $b\in G$, $ab=ba=e$. $a$ 的逆元表示为 $a^{-1}$.

则称 $(G,\cdot )$ 为一个群. 群中元素个数称为该群的阶 $|G|$.

若二元运算还满足交换律, 则称为阿贝尔群. 此时二元运算常用 $+$ 表示.

一个基本的群是所有 $n$ 阶可逆方阵集合以及矩阵乘法, 称为 $n$ 维一般线性群, 记为 $G{L}_n$. 另一个基本的群是集合 $T$ 上的所有双射 (置换) 构成的集合以及两个映射的嵌套 $\circ$. 当 $T=\{1,2,\dots ,n\}$ 时, 该群称为对称群, 记为 $S_n$.

子群 一个群的子集 $H$ 如果还保留了: 运算封闭性、包含单位元、逆元封闭性, 则称 $(H,\cdot )$ 构成一个子群. 任意群都有两个平凡的子群: 该群自身以及 $\{e\}$, 除此以外非平凡的子群称作一个真子群.

整数加法群 $(\mathbb{Z},+)$ 的任意子群均有 $b\mathbb{Z}=\{bk|k\in \mathbb{Z}\}$ 的形式, 其中 $b$ 为该子群的最小正整数, 为生成元. 由两个非零整数 $a,b$ 生成的子群 $a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}$ 也可以由一个整数 $d$ 生成, $d$ 为 $a$ 和 $b$ 的最大公约数.

由群中的一个元素 $x$ 自身可以生成循环子群 $H=\{x^n|n\in \mathbb{Z}\}$. 若 $x$ 的幂次无重复, $H$ 为无限循环子群. 否则 $x$ 的幂次有最小正周期 $m$, 使得 $x^m=1$. 此时 $H$ 为 $m$ 阶循环子群 $\{1,x,\dots ,x^{m-1}\}$, 也称生成元 $x$ 的阶为 $m$.

子群也可以由一个元素集合 $U$ 生成, 其包含 $U$ 中元素的各种乘积形式.

同构 两个群 $G$ 和 $G^{\prime }$ 是同构的, 如果有一个同构双射 $\phi :G\to G^{\prime }$ 与两群的二元运算相容, 即 $\mathrm{\forall }a,b\in G$, $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$. 记作 $G\approx G^{\prime }$. 同构群中的单位元相对应.

例如一个无限循环群 $G=\{a^n|n\in \mathbb{Z}\}$ 和 整数加群同构. 两个同阶的有限循环群同构.

所有同构的群可以形成一个同构等价类, 并可以此划分不同的同构等价类.

群 $G$ 可以自同构到自己, 但同构映射 $\phi$ 不一定非要为恒等映射. 例如接合 (conjugation) 自同构 $\phi (a)=ba{b}^{-1}$, $b$ 为 $G$ 中一个选定的元素.