线性代数系列一 向量空间

学图形学不懂线代，好像骑单车没有轱辘，虽然能扛着单车走，但是没有骑在上面舒服，也没骑在上面快。所以开启这一个系列，一个是用作自己复习，一个是当作扫盲吧，如果再有人问我线代的问题，直接发个博客链接给他，不用那么麻烦解释啦~人类都逃不过懒*。*

线性代数研究有限维向量空间上的线性映射。看不懂不用担心，后面就懂了。

我们首先介绍一些基本的概念。首先是高中学过的复数：

　　实数是什么我想大家都知道，高中做作业，x∈R没有写上过300遍不敢说自己上过高中。

　　复数是一个有序对（a,b）,a,b∈R,一般写作a+bi，所有复数构成的集合记为C，相对于实数的R。

　　复数的基本性质 i ² = -1

　　复数的加法：

　　(a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i   a,b,c,d∈R

　　复数的乘法：

　　(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i   a,b,c,d∈R

　　那么复数和实数之间是什么关系呢？通俗理解，一个有i项的式子就是复数，但是如果i项的系数为0呢，即a+0i = a，a∈R，此时这个复数就变成了一个实数，由此来看，复数形式可以表示实数，即实数是复数的一个子集。

　　复数的算数性质：(交换律，分配律，结合律都满足)

　　若x，y，z∈C，则有x + y = y + x, xy = yx, ( x + y) + z = x + (y + z),  (xy)z = x(yz) , x+0=x , x*1=x , x(y+z) = xy+xz.

　　对于x,y∈C，x有唯一的y使得x+y=0。

标量和向量：

　　因为R包含于C，所以C满足的性质自然可以推广到R。C中的每一个元素被成为标量，即1，2，3+4i等等都是标量。

　　在介绍向量之前，先介绍“组”：组的形式如下

　　　　（x₁,x₂,……x_n）,n为正整数。那么我们称这个组长度为n。如果两个组相等，必须满足长度相等并且组中的每一个元素顺序和值都相等。

　　我们将上述组中的元素x扩展到复数，即x∈C，用Cⁿ表示{（x₁,x₂,……x_n），（y₁,y₂,……y_n）,……}这个集合，n代表的是组的长度。比如C⁴就代表所有（x,y,z,w）可能的值，其中x,y,z,w∈C。也就是说Cⁿ是所有长度为n的组的集合。

　　那么组的运算性质是怎样的呢？设x，y∈Cⁿ,则有 x + y = y + x，组的0定义为（0，0，......，0）。介绍了这么多，其实最后就是想说，向量就是组。之所以要引入组这个概念是为了不要一提到向量就想（x,y）或者（x,y,z），向量是有更高维度的。在低维度向量的一些性质在高维度依然适用：

　　　　1.向量只有方向和长度，没有位置。

　　　　2.向量的标量加法（x₁,x₂,……x_n）+（y₁,y₂,……y_n） = （x₁+y₁,x₂+y₂,……x_n+y_n）

　　　　2.向量的标量乘法 k(x₁,x₂,……x_n）= （kx₁,kx₂,……kx_n）,k∈C,（x₁,x₂,……x_n）∈Cⁿ

向量空间的定义：

　　首先我们目前讨论的范围是C，即复数，此时我们将我们的研究对象推广到任意域，即另一个比C大的包含更广的集合，这是一个抽象的概念，我们假定他是存在的。那么我们接下来的讨论对象就是任意域F而不是复数域C。

　　那么此时我们来看向量空间的定义：向量空间就是带有加法和标量乘法的集合V，满足如下性质：

　　　　u+v = v+u,uv∈V  （交换律）

　　　　(u+v)+w = u+(v+w)   ab(v) = a(bv) 其中，u,v,w∈V，a,b∈F   （结合律）

　　　　存在元素0∈V使得对所有v∈V都有v+0 = v（加法单位元）

　　　　对所有v∈V都有1v=v（乘法单位元）

　　　　对每个v∈V都存在w∈V使得v+w=0（加法逆元）

　　　　对所有a,b∈F，u,v∈V都有a(u+v) = au+av, (a+b)v = av+bv。（分配律）

向量空间中的元素被成为向量或点。R上的向量空间被称为实向量空间，C上的向量空间被称为复向量空间。

子空间：

　　如果V的子集U也是向量空间，则U是V的子空间。子空间的条件：

　　　　1）加法单位元：0∈U

　　　　2）加法封闭性：u+w∈U，u,w∈U

　　　　3）标量乘法封闭性：a∈F和u∈U蕴含au∈U

子空间的和：

　　　设U₁,...U_m都是V的子空间，则U₁,...U_m的和定义为U₁,...U_m中元素所有可能的和所构成的集合。即

　　　　U₁+U₂+......+U_m = {  u₁+u₂+......+u_m    |  u₁∈U₁,u₂∈U₂,......u_m∈U_m  }

直和：

　　设U₁,...U_m都是V的子空间，则U₁+......+U_m的每一个元素可写为：u₁+......+u_m  的形式。其中每个u_j∈U_j ,如果U₁+......+U_m 中每个向量都可以唯一的表示成上述形式的情形，则成这个子空间的和为直和，记作U₁ ⊕......⊕U_m

　　直和的条件：当且仅当0表示成 u₁+u₂+......+u_m  （其中每个u_j∈U_j）的唯一方式是每个u_j都等于0.

　　两个子空间的直和 U+W 当且仅当 U∩W = {0}.