数学归纳法
数学归纳法对解题的形式要求严格,数学归纳法解题过程中,
第一步:验证n取第一个自然数时成立
第二步:假设n=k时成立,然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导,在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。
最后一步总结表述。
需要强调是数学归纳法的两步都很重要,缺一不可。
例子:举例证明下面的定理
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D192/sign=93d5bc485fee3d6d26c683c271146d41/342ac65c10385343391a28ce9513b07ecb80880c.jpg)
第一步,验证该公式在 n = 1 时成立。即有左边=1,右边=
=1,所以这个公式在n = 1时成立。
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D70/sign=63776fb578310a55c024dcf4b64550e6/d52a2834349b033bcff4099c14ce36d3d539bd7c.jpg)
第二步,需要证明假设n = m 时公式成立,那么可以推导出n = m+1 时公式也成立。
步骤如下:
假设n = m 时公式成立,即
(等式1)
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D190/sign=17d9dc5163d0f703e2b291d538fb5148/d439b6003af33a87749a8a5cc75c10385243b585.jpg)
然后在等式两边同时分别加上m + 1 得到
(等式2)
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D337/sign=38ba4b65622762d0843ea2bc97ed0849/6159252dd42a2834a5cdc24d5ab5c9ea15cebf09.jpg)
这就是n = m+1 时的等式。我们下一步需要根据 等式1证明 等式2 成立。通过因式分解合并,等式2的右边 ![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D443/sign=bfb44532eaf81a4c2232edcde42b6029/caef76094b36acaf9d5a61ba7dd98d1001e99c3a.jpg)
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D443/sign=bfb44532eaf81a4c2232edcde42b6029/caef76094b36acaf9d5a61ba7dd98d1001e99c3a.jpg)
也就是
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D312/sign=284040fda71ea8d38e227205a50b30cf/b7fd5266d0160924b0a2555dd50735fae7cd34f4.jpg)
这样我们就完成了由n=m成立推导出n=m+1成立的过程,证毕。
结论:对于任意自然数n,公式均成立。
对于以上例子的分析
在这个证明中,归纳的过程如下:
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首先证明n=1成立。
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然后证明从n=m 成立可以推导出n=m+1 也成立(这里实际应用的是演绎推理)。
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根据上两条从n=1 成立可以推导出n=1+1,也就是n=2 成立。
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继续推导,可以知道n=3 成立。
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从 n=3 成立可以推导出n=4 也成立……
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不断重复3的推导过程(这就是所谓“归纳”推理的地方)。
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我们便可以下结论:对于任意非零自然数n,公式成立。
posted on 2017-07-03 21:26 CuriousZero 阅读(351) 评论(0) 编辑 收藏 举报