「数学」Menelaus定理与Ceva定理
内容
\(\rm Menelaus\)定理
已知三角形\(\triangle ABC\)被一直线所截，交三条边或三条边的延长线与点\(X, Y, Z\)点，则有
\[\frac{AX}{XB} \cdot \frac{BZ}{ZC} \cdot \frac{CY}{YA}=1
\]
（注：上图为一种情况，还有一种为“直线不经过三角形的任何一边，即与三角形的交点数为\(0\)”）
证明：
过点\(C\)作\(CP // DF\)交\(AB\)于\(P\)，则
\[\frac{BZ}{ZC}=\frac{BX}{XP}\tag{1}
\]
\[\frac{CY}{YA}=\frac{PX}{XA}\tag{2}
\]
\[(1) \times (2) \rm{得：} \frac{BZ}{ZC}\cdot \frac{CY}{YA}=\frac{BX}{XP}\cdot \frac{PX}{XA}
\]
\[\frac{AX}{XB}\cdot\frac{BZ}{ZC}\cdot\frac{CY}{YA}=1
\]
\(\rm Menelaus\)逆定理
若有三点\(X\)、\(Y\)、\(Z\)分别在边三角形的三边\(AB\)、\(BC\)、\(CA\)或边的延长线上，并且满足\(\frac{AX}{XB} \cdot \frac{BZ}{ZC} \cdot \frac{CY}{YA}=1\)，那么\(X\)、\(Y\)、\(Z\)三点共线。
（前提：三个点有偶数个点在三角形边上。）
证明：
假设\(X\)、\(Y\)、\(Z\)三点不共线，直线\(ZY\)与\(AB\)交于点\(P\)。
根据\(\rm Menelaus\)定理，
\[\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BZ}{ZC}\cdot\frac{CY}{YA}=1
\]
\[\rm{已知}\frac{AX}{XB}\cdot\frac{BZ}{ZC}\cdot\frac{CY}{YA}=1
\]
\[\therefore \frac{AP}{PB}=\frac{AX}{XB}
\]
\[\therefore P \rm{与} X \rm{重合，即}X\rm{、}Y\rm{、}Z\rm{三点共线}
\]
\(\rm Ceva\)定理
在三角形\(\triangle ABC\)任取一点\(O\)，延长\(AO\)、\(BO\)、\(CO\)分别交对边于\(x\)、\(y\)、\(z\)，则有
\[\frac{AX}{XB} \cdot \frac{BZ}{ZC} \cdot \frac{CY}{YA}=1
\]
证明：
\(\therefore \triangle ADC\)被直线\(BE\)所截，
根据\(\rm Menelaus\)定理，
\[\therefore \frac{CB}{BZ}\cdot\frac{ZO}{OA}\cdot\frac{AY}{YC}=1\tag{1}
\]
\(\therefore \triangle ABD\)被直线\(CX\)所截，
\[\therefore \frac{BC}{CZ}\cdot\frac{ZO}{OA}\cdot\frac{AX}{XB}=1\tag{2}
\]
\[\frac{(2)}{(1)} \rm{得：}\frac{AX}{XB} \cdot \frac{BZ}{ZC} \cdot \frac{CY}{YA}=1
\]
\(\rm Ceva\)逆定理
若有三点\(X\)、\(Y\)、\(Z\)分别在边三角形的三边\(AB\)、\(BC\)、\(CA\)或边的延长线上，并且满足\(\frac{AX}{XB} \cdot \frac{BZ}{ZC} \cdot \frac{CY}{YA}=1\)，那么\(CX\)、\(BY\)、\(AZ\)三线共点。
证明：
延长\(CO\)交\(AB\)于点\(P\)，则有
\[\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BZ}{ZC} \cdot \frac{CY}{YA}=1
\]
\[\rm{已知}\frac{AX}{XB} \cdot \frac{BZ}{ZC} \cdot \frac{CY}{YA}=1
\]
\[\therefore \frac{AP}{PB}=\frac{AX}{XB}
\]
\[\therefore P \rm{与} X \rm{重合，即}CX\rm{、}BY\rm{、}AZ\rm{三线共点}
\]
