组合数学 随记
组合数学
1.母函数
母函数(生成函数):
生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种(本题是普通型)。
形式上，普通型母函数用于解决多重集的组合问题，
指数型母函数用于解决多重集的排列问题。
母函数还可以解决递归数列的通项问题（例如使用母函数解决斐波那契数列，Catalan数的通项公式）。
1.普通母函数： /*hdu2082*/
构造母函数G(x), G(x) = a0 + a1*x + a2* + a3* +....+ an*， 则称G(x)是数列a0,a1…an的母函数。
通常普通母函数用来解多重集的组合问题，其思想就是构造一个函数来解决问题，一般过程如下：
1.建立模型：物品n种,每种数量分别为k1,k2,..kn个，每种物品又有一个属性值p1,p2,…pn,(如本题的字母价值)，
求属性值和为m的物品组合方法数。（若数量ki无穷 也成立，即对应下面式子中第ki项的指数一直到无穷）
2.构造母函数：G(x)=(1++…)(1+++…)…(1+++…) （一）
=a0 + a1*x + a2* + a3* +....+ akk* (设kk=k1·p1+k2·p2+…kn·pn) （二）
G(x)含义： ak 为属性值和为k的组合方法数。
母函数利用的思想：
1.把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来。
2.把离散数列和幂级数对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来
确定离散数列的构造。
代码实现：
求G(x)时一项一项累乘。先令G=1=(1+0*x+0*+…0*),再令G=G*(1++…)得到形式(二)的式子…最后令G=G*(1+++…)。
2.指数型母函数 /*hdu1521*/
指数型母函数：（用来求解多重集的排列问题）
n个元素，其中a1，a2，····，an互不相同，进行全排列，可得n!个不同的排列。
若其中某一元素ai重复了ni次，全排列出来必有重复元素，其中真正不同的排列数应为 ，即其重复度为ni!
同理a1重复了n1次，a2重复了n2次，····，ak重复了nk次，n1+n2+····+nk=n。
对于这样的n个元素进行全排列，可得不同排列的个数实际上是 /*hdu5651*/
若只对其中的r个元素进行排列呢，那就用到了指数型母函数。
构造母函数G(x)=+则称G(x)是数列a0,a1…an的指数型母函数。
一般过程：
1.建立模型：物品n种，每种数量分别为k1,k2,..kn个，求从中选出m个物品的排列方法数。
2.构造母函数：G(x)=(1+ + …+)(1+ ++…)…(1+ ++…)
=a0+a1·x+ · + · +… · （其中pp=k1+k2+k3…kn）
G(x)含义：ai为选出i个物品的排列方法数。
若题中有限定条件，只要把第i项出现的列在第i项的式中，未出现的不用列入式中。
如:物品i出现的次数为非0偶数，则原式改为…*( + + )*…
2.Catalan数
卡特兰数(Catalan)：前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670…
令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)
另类递推式：
递推关系的解为：
递推关系的另类解为：
对于在2n位的2进制中，有n个0，其余为1,且1的累计数>=0的累计数，二进制数有种
对于在n位的2进制中，有m个0，其余为1的catalan数为：
理解：catalan数的理解
应用：
1.出栈次序： 一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列? h(n)种。 /*hdu1032*/
2.给定节点组成二叉树：给定n个节点，能构成多少种不同的二叉树？ h(n)种。
3.括号化：矩阵连乘，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，有几种括号化的方案？ h(n-1)种。
4.凸多边形三角划分：在一个凸n边形中，通过若干条互不相交的对角线，有多少种方法把这个多边形划分成若干个三角形? h(n-2)种。
3.容斥定理
容斥原理：（容许） 先不考虑重叠的情况，把包含于某条件中的所有对象的数目先计算出来，（排斥）然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
公式： 奇加偶减
一般求互质个数若用欧拉函数不好解决，则从反面考虑，用容斥。
