数值分析-方程组解法

高斯消元

的有线性方程组A_n×n * X _n*1= B_n*1

当A满秩是方程组有唯一解

高斯消元就是一个简单的解方程组的办法

 

高斯消元就是简单的通过初等行变换，将A变成一个上三角矩阵

这样就能从下到上一个一个的解出每个x的值，从而获得方程组的解

 

简单解释:

　　获取上三角矩阵之后方程变为

　　a₁₁x₁ + a₁₂x₂+ ... + a_1nx_n = b₁

　　　　　　a₂₂x₂ + ....+a_2nx_n = b₂

　　　　　　　　　　　　　　.

　　　　　　　　　　　　　　.

　　　　　　　　　　　 a_nnx_n = b_n

 

　　这样就可以从下往上解出x

 

时间复杂度

　　初等行变换做n次，每次把第k列，k+1 - n行全部变为0

　　每做一次时间复杂度为n²

　　做n次的时间复杂度为n³

　　

　　回带反向求解时，时间复杂度n²

　　

　　总时间复杂度 O(n³)

 

优缺点

 　　优点：简单实在

　　缺点：当顺序主子式=0时算法报错(除数为0)

　　　　　当除数很小时，会增大误差(计算机的储存丢失精度导致的误差)

 

列主元消去法

这个挺简单的

就是在做高斯消去的时候

每次将这一列的最大值放在对角线上即可

就是比高斯消去多了一个初等行变换而已

 

他的优点是，避免对角线上出现0导致不能解和对角线上出现非常小的数字，导致计算出来的误差非常大

 

 

矩阵三角分解法

LU分解：

　　由高斯消元的方法可以看到，高斯消元主要就是对A矩阵进行初等行变换使其变成上三角矩阵

　　那么进行初等行变换的过程可理解为矩阵乘法

　　设L_n为第n次初等行变换所乘的矩阵

　　则高斯消元可表示为L_n*L_n-1*.....*L₁*A = U

　　L_n*L_n-1*.....*L₁ = L

　　A = L^-1 * U

　　即为LU分解   L为上三角矩阵， U为下三角矩阵

 

　　每个矩阵的LU分解唯一

　　　　证明

　　　　A = LU = L₁U₁

　　　　因为秩不为0所有两个矩阵均可逆　　　　

　　　　L^-1L₁ = UU^-1

　　　　因为左边均为下三角矩阵， 右边均为上三角矩阵

　　　　所以左右两边均为单位阵

　　　　所以L = L₁ U = U₁

　　　　

　　

直接三角分解法　　

　　对与A = LU

　　求解Ly = b求出y

　　Ux = y 求出x  

　　得解