数据结构--图（更新中）

摘抄于胡凡的《算法笔记》

一.最小生成树（Minimum Spanning Tree）:在一个给定的无向图G中求一棵树T，使得这棵树拥有图G中的边，并且满足整棵树的边权之和最小。

算法核心思想：贪心

1.Krustal算法（边贪心）

（1）对所有的边按边权从小到大进行排序；

（2）按边权从小到大测试所有边，如果当前测试边所连接的两个顶点不在同一个连通块中，则把这条测试边加入当前最小生成树中；否则，将边舍弃；

（3）执行步骤2，直到最小生成树中的边数等于总顶点数减1或是测试完所有边时结束。如果结束时，最小生成树的边数小于总顶点数减1，说明该图不连通。

    判断两个顶点是否在一个连通块中需要用到并查集，查看其根节点是否是同一个，若不是同一个则合并到一个集合中，否则舍弃。

核心代码展示：

#define MAXE 100

struct Edge{
    int u,v;
    int cost;
}E[MAXE];

bool cmp(Edge a,Edge b)
{
    return a.cost<b.cost;
}

int Father[100];//并查集数组

//查找根节点
int FindFather(int x)
{
    if(x!=Father[x])
        return FindFather(Father[x]);
    return x;
}

//Krustal函数返回最小生成树的边权之和，参数n为顶点个数，m为图的边数
int krustal(int n,int m)
{
    //ans为所求边权之和，Num_Edge为当前生成树的边数
    int ans=0,Num_Edge=0;
    //并查集初始化
    for(int i=1;i<=n;++i)
        Father[i]=i;

    //所有的边按边权从小到大排序
    sort(E,E+m,cmp);

    for(int i=0;i<m;++i)
    {
        //查询测试边两个端点所在集合的根节点
        int faU=FindFather(E[i].u);
        int faV=FindFather(E[i].v);
        if(faU!=faV){
            Father[faU]=faV;
            ans+=E[i].cost;
            Num_Edge++;
            if(Num_Edge==n-1)
                break;
        }
    }
    //不是连通的
    if(Num_Edge!=n-1)
        return -1;
    else
        return ans;
}

时间复杂度：O（ElogE)       其中E为图的边数

                     算法是用于顶点多，边数少的情况。

2.Prim算法

基本思想：对图G(V,E)设置集合S，存放已被访问的顶点，然后每次从集合V-S中选择与集合S的最短距离最小的一个顶点（记为u），访问并加入集合S，之后令u为中介点，优化所有的从u你能到达的顶点v与集合S之间的最短距离。这样的操作执行n次（n为顶点个数），直到集合S已包含所有顶点。

伪代码：

G为图，一般设为全局变量；数组d为顶点与几何S的最短距离
Prim(G,d[]){
    初始化；
    for(循环n次){
        u=使d[u]最小的还未被访问的顶点的标号;
        记u已被访问；
        for(从u出发能到达的所有顶点v){
            if(v未被访问过&&以u为中介点使得v与集合S的最短距离d[v]更优){
                将G[u][v]赋值给v与集合S的最短距离d[v];
            }
        }
    }
}