作业一：PCA降维练习

【题目】

1.现有我国大陆30个省、直辖市、自治区的经济发展状况数据集如表所示，包括8项经济指标：国民生产总值（A1）；居民消费水平（A2）；固定资产投资（A3）；职工平均工资（A4）；货物周转量（A5）；居民消费指数（A6）；商品零售价格指数（A7）；工业总产值（A8），试用基本PCA方法将这8项经济指标融合成3项综合指标。

【要求】

1.写出PCA完成降维的主要步骤；

2.详细写出题目降维的计算过程；

3.请大家在博客中直接完成或在作业本上完成后拍照上传。

我国大陆经济发展状况数据
	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8
北京	1394.89	2505	519.01	8144	373.9	117.3	112.6	843.43
天津	920.11	2720	345.46	6501	342.8	115.2	110.6	582.51
河北	2849.52	1258	704.87	4839	2033.3	115.2	115.8	1234.85
山西	1092.48	1250	290.9	4721	717.3	116.9	115.6	697.25
内蒙古	832.88	1387	250.23	4134	781.7	117.5	116.8	419.39
辽宁	2793.37	2397	387.99	4911	1371.1	116.1	114	1840.55
吉林	1129.2	1872	320.45	4430	497.4	115.2	114.2	762.47
黑龙江	2014.53	2334	435.73	4145	824.8	116.1	114.3	1240.37
上海	2462.57	5343	996.48	9279	207.4	118.7	113	1642.95
江苏	5155.25	1926	1434.95	5934	1025.5	115.8	114.3	2026.64
浙江	3524.79	2249	1006.39	6619	754.4	116.6	113.5	916.59
安徽	2003.58	1254	474	4609	908.3	114.8	112.7	824.14
福建	2160.52	2320	553.97	5857	609.3	115.2	114.4	433.67
江西	1205.1	1182	282.84	4211	411.7	116.9	115.9	571.84
山东	5002.34	1527	1229.55	5145	1196.6	117.6	114.2	2207.69
河南	3002.74	1034	670.35	4344	1574.4	116.5	114.9	1367.92
湖北	2391.42	1527	571.68	4685	849	120	116.6	1220.72
湖南	2195.7	1408	422.61	4797	1011.8	119	115.5	843.83
广东	5381.72	2699	1639.83	8250	656.5	114	111.6	1396.35
广西	1606.15	1314	382.59	5150	556	118.4	116.4	554.97
海南	364.17	1814	198.35	5340	232.1	113.5	111.3	64.33
四川	3534	1261	822.54	4645	902.3	118.5	117	1431.81
贵州	630.07	942	150.84	4475	301.1	121.4	117.2	324.72
云南	1206.68	1261	334	5149	310.4	121.3	118.1	716.65
西藏	55.98	1110	17.87	7382	4.2	117.3	114.9	5.57
陕西	1000.03	1208	300.27	4396	500.9	119	117	600.98
甘肃	553.35	1007	114.81	5493	507	119.8	116.5	468.79
青海	165.31	1445	47.76	5753	61.6	118	116.3	105.8
宁夏	169.75	1355	61.98	5079	121.8	117.1	115.3	114.4
新疆	834.57	1469	376.95	5348	339	119.7	116.7	428.76

 

 

答：

1、导入数据

 

import pandas as pd
import openpyxl
import numpy as np
data = pd.read_excel("D:/机器学习/我国大陆经济发展状况数据.xlsx",header=None,engine='openpyxl')
data = data [2:]
data = data[[1,2,3,4,5,6,7,8]]
data

 

 

 

 

 2.每个数据减对应列的平均数(去中心化)

sample,feature=data.shape
data = data - np.mean(data)
data

 

 3.求协方差矩阵

data1 = np.mat(data)
data1 = data1.astype('float16')
covX = np.cov(data1.T)
covX

 

 

 4.求特征值和特征向量

eig_val, eig_vec = np.linalg.eig(covX)
eig_pairs = [(np.abs(eig_val[i]), eig_vec[:, i]) for i in range(feature)]
eig_val

 

 5.对特征值降序

index = np.argsort(-eig_val)
np.argsort(eig_val)

 

 6.降维

 k = 3
selectVec = np.matrix(eig_vec.T[index[:k]])
finalData = data1 * selectVec.T 
finalData.shape
finalData

 

 

总结：

设有 m 条 n 维数据。

1. 将原始数据按列组成 n 行 m 列矩阵 X；
2. 将 X 的每一行进行零均值化，即减去这一行的均值；
3. 求出协方差矩阵 C=1mXXT ；
4. 求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量；
5. 将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵，取前 k 行组成矩阵 P；
6. Y=PX 即为降维到 k 维后的数据