算法时间复杂度

一、什么是算法的时间复杂度

（一）引出算法

什么是算法？加入有下面一道题：

如果 a+b+c=1000，且 a^2+b^2=c^2（a,b,c 为自然数），如何求出所有a、b、c可能的组合?

刚开始的想法可能就是将a、b、c可能的值都列出来然后进行组合：

a、b、c的可能取值范围是[0,1000]
然后根据枚举进行条件组合

import time


def outter(func):
    def innder(*args, **kwargs):
        start = time.time()
        func()
        end = time.time()
        print('运行时间：%s' % (end - start))

    return innder


@outter
def find():
    for i in range(0, 1001):
        for j in range(0, 1001):
            for k in range(0, 1001):
                if i + j + k == 1000 and i ** 2 + j ** 2 == k ** 2:
                    print(i, j, k)


find()

输出的结果如下：

0 500 500
200 375 425
375 200 425
500 0 500
运行时间：182.12541675567627

显然，这样会耗费非常多的时间，如果换一种思路，当a、b确认后c是不是也就可以通过1000-a-b进行确认了呢？进行如下优化：

import time


def outter(func):
    def innder(*args, **kwargs):
        start = time.time()
        func()
        end = time.time()
        print('运行时间：%s' % (end - start))

    return innder


@outter
def find():
    for i in range(0, 1001):
        for j in range(0, 1001):
            k = 1000 - i - j
            if i ** 2 + j ** 2 == k ** 2:
                print(i, j, k)

此时的输出为：

0 500 500
200 375 425
375 200 425
500 0 500
运行时间：1.328075885772705

可以看到运行的时间从182.12541675567627s减少到1.328075885772705s，进行很大空间的优化。

我们通过不同的方法和思想，达到不一样的效果，这就是一种算法，算法是独立存在的一种解决问题的方法和思想。

（二）时间复杂度

1、什么是时间复杂度

　　上述的两种算法，显然第二种更优，但是你是如何衡量算法的效率呢？仅仅通过时间来进行判断吗？如果仅仅通过时间来判断显然是不合适的，因为如果第二种算法跑在一个硬件设备配置很低的机器，可能耗费的时间更长。

　　虽然从时间上不能衡量，但是一个算法有多少基本操作是确定的，多少个基本操作就代表会花费多少时间单位，这样就可以忽视机器环境的影响。对于算法效率的衡量可以使用“大O记法”：

　　对于单调的整数函数f，如果存在一个整数函数g和实常数c>0，使得对于充分大的n总有f(n)<=c*g(n)，就说函数g是f的一个渐近函数（忽略常数），记为f(n)=O(g(n))。也就是说，在趋向无穷的极限意义下，函数f的增长速度受到函数g的约束，亦即函数f与函数g的特征相似。

对于时间复杂度就是：

　　假设存在函数g，使得算法A处理规模为n的问题示例所用时间为T(n)=O(g(n))，则称O(g(n))为算法A的渐近时间复杂度，简称时间复杂度，记为T(n)

2、如何计算时间复杂度

基本操作，即只有常数项，认为其时间复杂度为O(1)
顺序结构，时间复杂度按加法进行计算
循环结构，时间复杂度按乘法进行计算
分支结构，时间复杂度取最大值

判断一个算法的效率时，往往只需要关注操作数量的最高次项，其它次要项和常数项可以忽略；在没有特殊说明时，我们所分析的算法的时间复杂度都是指最坏时间复杂度

比如上面算法1抽象的时间复杂度：

T(n) = n * n * n * max(1,0) = n^3*1 = n^3 = O(n^3)

对于上面算法2抽象的时间复杂度：

T(n) = n*n*(1+max(1,0)) = n^2 * (1+1) = 2*n^2 = n^2 =O(n^2)

由此可见第2中算法更优。

3、常见时间复杂度

次数函数	阶数	术语
3	O(1)	常数阶
2n+3	O(n)	线性阶
2n²+3n+1	O(n²)	平方阶
5log₂n+10	O(logn)	对数阶
3n+3nlog₂n+20	O(nlogn)	nlogn阶
5n³+2n²+3n+4	O(n³)	立方阶
2ⁿ	O(2ⁿ)	指数阶

上述时间复杂度所消耗的时间从小到大：

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n

) < O(n

) < O(2n) < O(n!) < O(n

ⁿ

二、Python中list和dict方法的时间复杂度

1、list内置方法时间复杂度

注意：上述的时间复杂度是最坏时间复杂度

2、dict内置方法时间复杂度