数据特征分析：4.正态分布与正态性检验

 

 1.正态分布

 

期望值u（均值）决定位置，标准差决定它的分布幅度，可以验证分布曲线的高矮胖瘦，越胖代表它的离中趋势越明显，越高代表它集中的值越高。

 

 

2. 正太性检验

利用观测数据判断总体是否服从正态分布的检验称为正态性检验，它是统计判决中重要的一种特殊的拟合优度假设检验。

直方图初判 / QQ图判断 / K-S检验

 2.1直方图初判 

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
% matplotlib inline

#直方图判断
s = pd.DataFrame(np.random.randn(1000)+10, columns = ['value'])
print(s.head())  #创建随机数据

fig = plt.figure(figsize = (10, 6))
ax1 = fig.add_subplot(2, 1, 1)  # 创建子图1
ax1.scatter(s.index, s.values)
plt.grid() #绘制数据分布图

s = pd.DataFrame(np.random.rand(1000)+10, columns = ['value'])#这样子改下，其他不变，就是均匀分布了

ax2 = fig.add_subplot(2,1,2)  # 创建子图2
s.hist(bins=30,alpha = 0.5,ax = ax2)
s.plot(kind = 'kde', secondary_y=True,ax = ax2)
plt.grid()
# 绘制直方图
# 呈现较明显的正太性

2.2 QQ图判断

 QQ图通过把测试样本数据的分位数与已知分布相比较，从而来检验数据的分布情况

QQ图是一种散点图，对应于正态分布的QQ图，就是由标准正态分布的分位数为横坐标，样本值为纵坐标的散点图
 参考直线：四分之一分位点和四分之三分位点这两点确定，看散点是否落在这条线的附近

 绘制思路 
 ① 在做好数据清洗后，对数据进行排序（次序统计量：x(1)<x(2)<....<x(n)）
 ② 排序后，计算出每个数据对应的百分位p{ i } ，即第i个数据x(i)为p(i)分位数，其中p(i)=(i-0.5)/n （pi有多重算法，这里以最常用方法为主）
 ③ 绘制直方图 + qq图，直方图作为参考

 绘制散点图，横坐标是它的分位，就是分布的位置，做下排序，看是否很多的点在某条直线上，这条直线一般是拿它的一分位和三分位做一下相减，

s = pd.DataFrame(np.random.randn(1000) + 10, columns = ['value'])
print(s.head()) #创建随机数据

mean = s['value'].mean()
std = s['value'].std()
print('均值为：%.2f，标准差为：%.2f' % (mean,std))
print('------')
#  计算均值，标准差

.sort_values(by = 'value', inplace = True)

.reset_index(drop = False)给index重新排序

s.sort_values(by = 'value', inplace = True) #index值跟着改变了。  重新排序 ,按照value的值从小到大进行排序 
s_r = s.reset_index(drop = False) #给index重新排序下，drop = False是是否保留原来的
s_r['p'] = (s_r.index - 0.5) / len(s_r) 
s_r['q'] = (s_r['value'] - mean) / std  #每个值标准化之后的结果
print(s_r.head())
print('------')
#计算百分位数 p(i)
# 计算q值 

st = s['value'].describe()
x1 ,y1 = 0.25, st['25%'] #1/4位点
x2 ,y2 = 0.75, st['75%'] #3/4位点
print('四分之一位数为：%.2f，四分之三位数为：%.2f' % (y1,y2))
print('------')
# 计算四分之一位数、四分之三位数

fig = plt.figure(figsize = (10,9))
ax1 = fig.add_subplot(3,1,1)  # 创建子图1
ax1.scatter(s.index, s.values)
plt.grid()
# 绘制数据分布图

ax2 = fig.add_subplot(3,1,2)  # 创建子图2
s.hist(bins=30,alpha = 0.5,ax = ax2)
s.plot(kind = 'kde', secondary_y=True,ax = ax2)
plt.grid()
# 绘制直方图

ax3 = fig.add_subplot(3,1,3)  # 创建子图3
ax3.plot(s_r['p'],s_r['value'],'k.',alpha = 0.1) #s_r['value']也可以用s_r['q']，最后结果是一样的
ax3.plot([x1,x2],[y1,y2],'-r') #这两个点做一个红线
plt.grid()
# # 绘制QQ图，直线为四分之一位数、四分之三位数的连线，基本符合正态分布

 2.3K - S检验 

 

 

# KS检验，理论推导

data = [87,77,92,68,80,78,84,77,81,80,80,77,92,86,
       76,80,81,75,77,72,81,72,84,86,80,68,77,87,
       76,77,78,92,75,80,78]
# 样本数据，35位健康男性在未进食之前的血糖浓度

df = pd.DataFrame(data, columns =['value'])
u = df['value'].mean()    #均值 
std = df['value'].std()    #标准差 
print("样本均值为：%.2f，样本标准差为：%.2f" % (u,std))
print('------')
# 查看数据基本统计量

s = df['value'].value_counts().sort_index()
df_s = pd.DataFrame({'血糖浓度':s.index,'次数':s.values})
# 创建频率数据

df_s['累计次数'] = df_s['次数'].cumsum()
df_s['累计频率'] = df_s['累计次数'] / len(data)
df_s['标准化取值'] = (df_s['血糖浓度'] - u) / std  #标准化取值 = (x - u) / std 
df_s['理论分布'] =[0.0244,0.0968,0.2148,0.2643,0.3228,0.3859,0.5160,0.5832,0.7611,0.8531,0.8888,0.9803]  # 通过查阅正太分布表
df_s['D'] = np.abs(df_s['累计频率'] - df_s['理论分布'])
dmax = df_s['D'].max()
print("实际观测D值为：%.4f" % dmax)
# D值序列计算结果表格
df_s

 

 

 把一个非标准正态分布变成一个标准正态分布----->把非标准正态分布的值变成X = (x-u) /方差----->可以找到理论值。；

拿这个标准化取值去跟正态分布表去对

标准化取值的值它本 身就符合正态分布；系统分布与标准分布相减，如果这个函数满足标准正态分布，它的值就应该满足这个表。比如说标准化取值2.064315，其对应的查正态分布表值为0.9803，它的理论分布值是0.9803；  标准化取值-1.9777，找的时候把它的负号去掉，查正态分布表为0.9756，正的是0.9756，负的就是1-0.9756=0.0244.可以看到与理论分布值是相对应的。  ----- >>>理论分布就相当于是g（x）就是F0（x），F（n）就是原来的F（n）累计频率。累计频率 - 理论分布 = D

df_s['累计频率'].plot(style = '--k.')
df_s['理论分布'].plot(style = '--r.')
plt.legend(loc = 'upper left')
plt.grid()
# 密度图表示

 

 

 

实际观测D值为：0.1597 对应的0.1597放到显著性对照表，我们的样本数据一共35个，在50以内，按0.05的值去算的话，0.1587介于0.158和0.190之间，它所对应的P值是0.2和0.4，这个P值是大于
0.05的。 拿到这个D值去那个表里边查，如果大于0.05就说明满足正态分布，这是理论推导，实际工作中就更简单了。

# 直接用算法做KS检验

from scipy import stats
# scipy包是一个高级的科学计算库，它和Numpy联系很密切，Scipy一般都是操控Numpy数组来进行科学计算

data = [87,77,92,68,80,78,84,77,81,80,80,77,92,86,
       76,80,81,75,77,72,81,72,84,86,80,68,77,87,
       76,77,78,92,75,80,78]
# 样本数据，35位健康男性在未进食之前的血糖浓度

df = pd.DataFrame(data, columns =['value'])
u = df['value'].mean()  # 计算均值
std = df['value'].std()  # 计算标准差
stats.kstest(df['value'], 'norm', (u, std)) #value值直接写样本就可以了，中间是norm默认是以正态分布去做判断，后边是均值和方差
# .kstest方法：KS检验，参数分别是：待检验的数据，检验方法（这里设置成norm正态分布），均值与标准差
# 结果返回两个值：statistic → D值，pvalue → P值
# p值（pvalue）大于0.05，为正态分布