数据结构-06 |树 | 二叉树| 二叉搜索树

阅读目录(Content)

• 1. 树、链表和图的联系
• 2. 树 Tree概念
• 3. 二叉树 Binary  Tree
• 二叉树的存储
• 链式存储法
• 顺序存储法
• 4.  二叉树遍历 Pre-order/ In-order/ Post-order
• 前序Pre-order
• 中序 In-order
• 后序 Post-order
•  层次遍历
• 5. 二叉搜索树 Binary Search Tree的遍历
• 二叉搜索树常见操作
• 支持重复数据的二叉查找树
• 二叉查找树的复杂度分析
• 散列表与二叉树的对比
• 图Graph

 

回到顶部(go to top)

1. 树、链表和图的联系

树、链表和图它们之间都有相应的联系；

单链表 Linked List  

 单链表：Value & Next ，每个Next都指向它的后续节点，HEAD头结点、TAIL尾节点。它最大的问题就是查询时太慢（如果要访问中间的或者倒数某个节点，必须从头节点一个个看）。

               ===> 加索引--跳表 （升维） 

　　　　===> 二维的数据结构-树和图（多个next，next1、 next2、 next3等节点指向多个节点就变成一颗树）

 Linked List链表就是特殊化的树Tree，Tree树就是特殊化的图Graph。（Graph是可以随便链，链回到它自己节点就可以，而树永远是单向链）

Tree（左节点和右节点或者认为一个树的节点有两个Next的指针）

回到顶部(go to top)

2. 树 Tree概念

 树结构的出现，

 树，这个是二叉树（每个节点只有两个Next指针，或者只有一个左儿子和右儿子）。 每个元素叫作“节点”；用来连线相邻节点之间的关系叫作“父子关系”。

 　　A 头Root节点（根节点，没有父节点），B或者C叫左儿子、 右儿子，左边任何一枝树叫左子数（比如DHI），右边任何一枝树叫右子树（比如CFG）。

　　树中有父节点，两边有左儿子和右儿子； 儿子之间叫兄弟节点（比如F和G，F叫左节点， G叫右节点，因为它们有同一个父节点）

       没有子节点的节点叫作叶子节点或者叶节点，比如H、 I、 J、F、G 

　　层级： 从level0 - 1 - 2 - 3 

  

 

题目：分层来打印一个二叉树；

分类：

常用的为二叉树，顾名思义，每个节点最多有两个“叉”，也就是两个子节点，分别是左子节点和右子节点。不过，二叉树并不要求每个节点都有两个子节点，有的节点只有左子节点，有的节点只有右子节点。

以此类推，四叉树、八叉树等。

   

 上图都是二叉树，其中，编号 2 的二叉树中，叶子节点全都在最底层，除了叶子节点之外，每个节点都有左右两个子节点，这种二叉树就叫作满二叉树。

                                     编号 3 的二叉树中，叶子节点都在最底下两层，最后一层的叶子节点都靠左排列，并且除了最后一层，其他层的节点个数都要达到最大，这种二叉树叫作完全二叉树。

这里“最后一层的叶子节点都靠左排列”不是最后一层的子节点是左节点，而是指最后一层的子节点，从左数到右是连续，中间没有断开，缺少节点（如图例H、I、J是连续的）。（

　　1. 当这一层的节点未满时是不允许存在下一层节点的。
　　2. 每层节点填充的方式是从左到右。

）

为什么偏偏把最后一层的叶子节点靠左排列的叫完全二 叉树？如果靠右排列就不能叫完全二叉树吗  （它的由来查看二叉树的存储，为了省内存。）

   

回到顶部(go to top)

3. 二叉树 Binary  Tree

树结构多种多样，最常用是二叉树，即每个节点最多有两个“叉”，也就是两个子节点，分别是左子节点和右子节点。二叉树并不要求每个节点都有两个子节点，有的节点只有左子节点，有的节点只有右子节点。以此类推，可以想象一下四叉树、八叉树的样子。

 这张图是典型的二叉树，一个节点只有两个孩子（左孩子和右孩子），每个节点都有两个孩子而没有单个的情况，叫完全二叉树；除了Next节点，Next节点再指回去就是图graph。

 树和图最关键的差别就是看它有没有环。如果节点只连了儿子节点，永远都不会走回去，比如第一个图中F节点指向了E或者C或者A就会形成一个环，就是图。

二叉树的存储

 如何表示（或者存储）一棵二叉树：

• 一种是基于指针或者引用的二叉链式存储法，
• 一种是基于数组的顺序存储法。

链式存储法

　　每个节点有三个字段，其中一个存储数据，另外两个是指向左右子节点的指针。我们只要拎住根节点，就可以通过左右子节点的指针，把整棵树都串起来。这种存储方式我们比较常用。大部分二叉树代码都是通过这种结构来实现的。

      

 

顺序存储法

顺序存储比较适合完全二叉树。

　　把根节点存储在下标 i = 1 的位置，那左子节点存储在下标 2 * i = 2 的位置，右子节点存储在 2 * i + 1 = 3 的位置。以此类推，B 节点的左子节点存储在 2 * i = 2 * 2 = 4 的位置，右子节点存储在 2 * i + 1 = 2 * 2 + 1 = 5 的位置。

    

 

如果节点 X 存储在数组中下标为 i 的位置，下标为 2 * i 的位置存储的就是左子节点，下标为 2 * i + 1 的位置存储的就是右子节点。反过来，下标为 i/2 的位置存储就是它的父节点。通过这种方式，我们只要知道

根节点存储的位置（一般情况下，为了方便计算子节点， 根节点会存储在下标为 1 的位置），这样就可以通过下标计算，把整棵树都串起来。

上例是一棵完全二叉树，所以仅仅“浪费”了一个下标为 0 的存储位置。如果是非完全二叉树，其实会浪费比较多的数组存储空间。

   

所以，如果某棵二叉树是一棵完全二叉树，那用数组存储无疑是最节省内存的一种方式。因为数组的存储方式并不需要像链式存储法那样，要存储额外的左右子节点的指针。

这也是为什么完全二叉树会单独拎出来的原因，也是为什么完全二叉树要求最后一层的子节点都靠左的原因。
 堆和堆排序，堆其实就是一种完全二叉树，最常用的存储方式就是 数组。

回到顶部(go to top)

4.  二叉树遍历 Pre-order/ In-order/ Post-order

前中后序遍历，在实际中使用的很少，真正的遍历使用的是深度优先、广度优先以及搜树

public class TreeNode { 
  public int val;   
  public TreeNode left, right;   
  public TreeNode(int val) {   
         this.val = val;    
         this.left = null;    
        this.right = null; 
  }
}

　　1.前序（Pre-order）：根-左-右 （对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。）

　　2.中序（In-order）：左-根-右

　　3.后序（Post-order）：左-右-根

 二叉树的前、中、后序遍历就是一个递归的过程。

       

前序Pre-order

根-左-右， 先根结点，后左子树，再右子树；

    

中序 In-order

左-根-右  

    

后序 Post-order

左-右-根 

  

前序遍历的递推公式：
preOrder(r) = print r->preOrder(r->left)->preOrder(r->right)

中序遍历的递推公式：
inOrder(r) = inOrder(r->left)->print r->inOrder(r->right)

后序遍历的递推公式：
postOrder(r) = postOrder(r->left)->postOrder(r->right)->print r

 层次遍历

 层次遍历为：A --> B --> C --> D --> E --> F --> G

 

回到顶部(go to top)

5. 二叉搜索树 Binary Search Tree的遍历

二叉搜索树，也称二叉搜索树、有序二叉树（Ordered Binary Tree）、 排序二叉树（Sorted Binary Tree），是指一棵空树或者具有下列性质的 二叉树：

　　1. 左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

　　2. 右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

　　3. 且以此类推：左、右子树也分别为二叉查找树。 （这就是 重复性！）

它的遍历是 中序遍历：升序排列 

如果只是个普通的二叉树，前中后遍历只是知道如何遍历即可，但如果是二叉搜索树，中序遍历左-根-右，它遍历出来的是一个有序的数组。

二叉搜索树常见操作

   https://visualgo.net/zh/bst

1. 查询   遍历（前| 中| 后遍历），它的时间复杂度为 O(n) 的； 二分搜索，每次减半，所以二叉搜索树它的查询时间复杂度为 log₂n  

我们先取根节点，如果它等于我们要查找的数 据，那就返回。 如果要查找的数据比根节点的值小，那就在左子树中递归查找；

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   如果要查找的数 据比根节点的值大，那就在右子树中递归查找。

2. 插入新结点（创建）

   类似查找操作。新插入的数据一般都是在叶子节点上，所以只需从根节点开始，依次比较要插入的数据和节点的大小关系。

如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将新数据直接插到右子节点的位 置；

　　　　　　　　　　　　　　　　如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。

同理，如果要插入的数据比节点数值小，并且节点的左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置；

　　　　　　　　　　　　　　　　　　如果不为空，就再递归遍历左 子树，查找插入位置。

3. 删除

（ ①在叶子上，直接删除，树的形状没有发生任何变化。 ②关键性的节点--如根结点或某个子树的根结点 ）  时间复杂度 O(long(n))

  针对要删除节点的子节点个数的不同，分三种情况：

• 一，如果要删除的节点没有子节点，只需要直接将父节点中指向要删除节点的指针置为 null。
• 二，如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），只需更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。
• 三，如果要删除的节点有两个子节点，这就比较复杂了。需要找到这个节点的右子树中的小节点，把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个小节点，因为小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是小节点了），所以，我们可以应用上面两条规则 来删除这个小节点。

实际上，关于二叉查找树的删除操作，还有个非常简单、取巧的方法，就是单纯将要删除的节点 标记为“已删除”，但是并不真正从树中将这个节点去掉。这样原本删除的节点还需要存储在内 存中，比较浪费内存

空间，但是删除操作就变得简单了很多。而且，这种处理方法也并没有增加 插入、查找操作代码实现的难度。

  

 

 

 

 

4. 二叉查找树的其他操作 

除了插入、删除、查找操作之外，二叉查找树中还可以支持快速地查找大节点和小节点、前驱节点和后继节点。

二叉查找树除了支持上面几个操作之外，还有一个重要的特性，就是中序遍历二叉查找树，可以 输出有序的数据序列，时间复杂度是 O(n)，非常高效。因此，二叉查找树也叫作二叉排序树。

 

一种特殊情况是：

   这个树退化成了一根根子，只有右结点，即变成了一个单链表。时间复杂度退化为 O(n)的。  加速的办法变成平衡的二叉树。

  

  Demo：

   https://visualgo.net/zh/bst

支持重复数据的二叉查找树

默认树中节点存储的都是数字。很多时候，在实际的软件开发 中，在二叉查找树中存储的，是一个包含很多字段的对象。利用对象的某个字段作为键 值（key）来构建二叉查找树。

我们把对象中的其他字段叫作卫星数据。

前面二叉查找树的操作，针对的都是不存在键值相同的情况。那如果存储的两个对象键 值相同，这种情况该怎么处理呢？两种解决方法：

• 第一种方法比较容易。二叉查找树中每一个节点不仅会存储一个数据，通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，把值相同的数据都存储在同一个节点上。
• 第二种方法比较不好理解，不过更加优雅。每个节点仍然只存储一个数据。在查找插入位置的过程中，如果碰到一个节点的值，与要插入数据的值相同，就将这个要插入的数据放到这个节点的右子树，也就是说，把这个新插入的数据当作大于这个节点的值来处理。

二叉查找树的复杂度分析

二叉查找树的插入、删除、查找操作的时间复杂度。
实际上，二叉查找树的形态各式各样。比如这个图中，对于同一组数据，我们构造了三种二叉查找树。它们的查找、插入、删除操作的执行效率都是不一样的。

第一种二叉查找树，根节点 的左右子树极度不平衡，已经退化成了链表，所以查找的时间复杂度就变成了 O(n)。

    

理想的情况，二叉查找树是一棵完 全二叉树（或满二叉树）。这时，插入、删除、查找的时间复杂度是多少呢？

从前面例子不管操作是插入、删除还是查找，时间复杂度其实都跟树的高度成正比，也就是 O(height)。现在问题就转变成另外一个了，即如何求一棵包含n 个节点的完全二叉树的高度？

树的高度就等于大层数减一，为了方便计算，转换成层来表示。从图中可以看出，包含n个节点的完全二叉树中，第一层包含1 个节点，第二层包含2 个节点，第三层包含4 个节点，依次类推，下面一层节点个数是上一层的2 倍，第K 层包含的节点个数就是 2^(K-1)。

不过，对于完全二叉树来说，后一层的节点个数有点儿不遵守上面的规律了。它包含的节点个数在1个到 2^(L-1) 个之间（假设大层数是 L）。把每一层的节点个数加起来就是总的节点个数n。也即如果节点的个数是n，那么n 满足这样一个关系：

n >= 1+2+4+8+...+2(L-2)+1 
n <= 1+2+4+8+...+2(L-2)+2(L-1)

借助等比数列的求和公式，可计算出，L 的范围是 [log(n+1), log n +1]。
完全二叉树 的层数小于等于 log n +1，也就是说，完全二叉树的高度小于等于 log n。

对于极度不平衡的二叉查找树，它的查找性能肯定不能满足我们的需求。

需要构建一种不管怎么删除、插入数据，在任何时候，都能保持任意节点左右子树都比较平衡的二叉查找树，

一种特殊的二叉查找树，平衡二叉查找树。平衡二叉查找树的高度接近logn，所以插入、删除、查找操作的时间复杂度也比较稳定，是 O(logn)。

 

 

 

  它的查询和插入不再是O(n)， 而是log n， 就相当于加速了。（二维结构，排好序）

 树，本质上是到了这个节点有两个Next指针，指向左子树或指向右子树，如果左右子树没有任何关系的话这种结构是很低效的。

  左子树和右子树会有一个先后顺序的关系，即二叉搜索树。

一棵没有任何特点的二叉树很少有实际高效实用的办法，用的最高的是二叉搜索树、在普通二叉树上发展出来的平衡二叉搜索树、红黑树

二叉搜索树：Search指的是在树中这些节点之间有一个序列关系，搜索的时候更便捷，也称为有序二叉树（排序二叉树）。

特征：如果是空树也是二叉排序树；如果不是空树则：

1. 左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;
2. 右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值; (这里是左右子树去做)
3. Recursively, 左、右子树也分别为二叉查找树。

 

二叉搜索树,
左子树上的所有节点都要 < 根节点;
右子树上的所有节点都要 > 根节点
比如上图中, 左子树14|10|19都要 < 27, 右子树35|31|42都要 > 27;
同理, 14 > 10, 14 < 19; 

   搜索查找效率很高，LogN

 

 https://www.bigocheatsheet.com/

 

1. 给定一组数据，比如 1，3，5，6，9，10。你来算算，可以构建出多少种不同的二叉树？

　　如果是完全二叉树，则问题可简化为数组内的元素有多少种组合方式，n! 种方法。 

C[n,2n] / (n+1)种形状，c是组合数，节点的不同又是一个全排列，一共就是n!*C[n,2n] / (n+1)个二叉树。   https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number

回到顶部(go to top)

散列表与二叉树的对比

散列表的插入、删除、查找操作的时间复杂度可以做到常量级的 O(1)，非常高效。而二叉查找树在比较平衡的情况下，插入、删除、查找操作时间复杂度才是 O(logn)，

相对散列表，好像并没有什么优势，那我们为什么还要用二叉查找树呢？

原因如下：

第一，散列表中的数据是无序存储的，如果要输出有序的数据，需要先进行排序。而对于二叉查 找树来说，只需要中序遍历，就可以在 O(n) 的时间复杂度内，输出有序的数据序列。

第二，散列表扩容耗时很多，而且当遇到散列冲突时，性能不稳定，尽管二叉查找树的性能不稳定，但是在工程中，常用的平衡二叉查找树的性能非常稳定，时间复杂度稳定在 O(logn)。

第三，笼统地来说，尽管散列表的查找等操作的时间复杂度是常量级的，但因为哈希冲突的存 在，这个常量不一定比 logn 小，所以实际的查找速度可能不一定比 O(logn) 快。加上哈希函数耗时，也不一定就比平衡二叉查找树的效率高。

第四，散列表的构造比二叉查找树要复杂，考虑的东西很多。比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方 案比较成熟、固定。

最后，为了避免过多的散列冲突，散列表装载因子不能太大，特别是基于开放寻址法解决冲突的 散列表，不然会浪费一定的存储空间。

综合这几点，平衡二叉查找树在某些方面还是优于散列表的，所以，这两者的存在并不冲突。我 们在实际的开发过程中，需要结合具体的需求来选择使用哪一个。

 

二叉树高度如何通过编程，求出一棵给定二叉树的确切高度呢？

确定二叉树高度有两种思路：

第一种是深度优先思想的递归，分别求左右子树的高度。当前节点的高度就是左右子树中较大的那个+1；(根节点高度 = max(左子树高度，右子树高度)+1 )

第二种可以采用层次遍历的方式，每一层记录都记录下当前队列的长度，这个是队尾，每一层队头从0开始。然后每遍历一个元素，队头下标 +1。直到队头下标等于队尾下标。这个时候表示当前层遍历完成。每

一层刚开始遍历的时候，树的高度+1。后队列为空，就能得到树的高度。

 

回到顶部(go to top)

图Graph

 

 最短的时间内用最低的费用到达相应的目标。