数据结构与算法| 复杂度分析
1. 数据结构与算法概念
是什么：
数据结构指的是“一组数据的存储结构”，算法指的是“操作数据的一组方法”。
数据结构是为算法服务的，算法是要作用在特定的数据结构上的。
为什么要用：
数据结构和算法解决的是如何更省、更快地存储和处理数据的问题，如何让代码运行得更快，如何让代码更省存储空间；
选用合适的数据结构和算法，特别是在处理体量非常庞大的数据的时候，可以极大提高计算效率。
20 个最常用的、最基础数据结构与算法：
10 个数据结构：数组、链表、栈、队列、散列表、二叉树、堆、跳表、图、Trie 树；
10 个算法：递归、排序、二分查找、搜索、哈希算法、贪心算法、分治算法、回溯算法、动态规划、字符串匹配算法。
学习它的“来历”“自身的特点”“适合解决的问题”以及“实际的应用场景”，辩证地思考，多问为什么。从概念到应用。
如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？
考量效率和资源消耗的方法，即复杂度分析方法。使用时间、空间复杂度分析来衡量算法代码的执行效率。知道怎么去分析复杂度，才能作出正确的判断在特定的场景下选用合适的正确的算法。
通过统计、监控，就能得到算法执行的时间和占用的内存大小 --（这种叫事后统计法，它有很大局限性），选用复杂度分析法原因：
①. 测试结果非常依赖测试环境； ②. 测试结果受数据规模的影响很大； 而时间、空间复杂度分析法不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。
2. 大 O 复杂度表示法
时间复杂度： 表示一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势。
1 求 1,2,3…n 的累加和。估算下这段代码的执行时间： 2 public int sumN(int n) { 3 int sum = 0; 4 int i = 1; 5 for (; i <= n; ++i) { 6 sum = sum + i; 7 } 8 return sum; 9 } 10 11 从 CPU 的角度来看，这段代码的每一行都执行着类似的操作：读数据-运算-写数据。 12 所以可以假设每行代码执行的时间都一样，为 unit_time。在这个假设的基础之上，这段代码总的执行时间 (2n + 2)*unit_time 13 可以看出来，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。
1 public int sumN(int n) { 2 int sum = 0; 3 int i = 1; 4 int j = 1; 5 for (; i <= n; ++i) { 6 j = 1; 7 for (;j <= n; ++j){ 8 sum = sum + i * j; 9 } 10 } 11 return sum; 12 } 13 14 第 2、3、4 行代码，每行都需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 5、6 行代码循环执行了 n 遍，需要 2n * unit_time 的执行时间， 15 第 7、8 行代码循环执行了 n2遍，所以需要 2n2 * unit_time 的执行时间。 16 所以，整段代码总的执行时间 T(n) = (2n2+2n+3)*unit_time。 17 尽管我们不知道 unit_time 的具体值，但是通过这两段代码执行时间的推导过程，我们可以得到一个非常重要的规律，那就是， 18 所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比。
我们可以把这个规律总结成一个公式：
其中，T(n)表示代码执行的时间；
n 表示数据规模的大小；
f(n) 表示每行代码执行的次数总和。
因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。 所以，第一个例子中的 T(n) = O(2n+2)，
第二个例子中的 T(n) = O(2n2+2n+3)。
这就是大 O 时间复杂度表示法。大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，
所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。
当 n 很大时，你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，
如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度，
就可以记为：T(n) = O(n)； T(n) = O(n2)。
3. 时间复杂度分析
1. 只关注循环执行次数最多的一段代码
大 O 复杂度表示法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只记录一个最大阶的量级就可以了。所以，我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的 n 的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度。
2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度； 比如 O(1) + O(n) + O(n2) = O(n2)
3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积； 比如 O(n) * O(n) = O(n2)
乘法法则。类比一下
如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).
也就是说，假设 T1(n) = O(n)，T2(n) = O(n2)，则 T1(n) * T2(n) = O(n3)。落实到具体的代码上，我们可以把乘法法则看成是嵌套循环
4. 几种常见时间复杂度实例分析
对于复杂度量级可以粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2n) 和 O(n!)。
我们把时间复杂度为非多项式量级的算法问题叫作 NP（Non-Deterministic Polynomial，非确定多项式）问题。
当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此，关于 NP 时间复杂度我就不展开讲了。我们主要来看几种常见的多项式时间复杂度。
1. O(1)
首先你必须明确一个概念，O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法。
只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。
2. O(logn)、O(nlogn)
对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。
int i = 1;
while (i <= 20) {
i = i * 2;
}
System.out.println(i);
第三行代码是循环次数最多的，计算出这行执行了多少次就可以得出时间复杂度，每循环一次乘以2，实际上变量i的值就是一个等比数列，见下：
i = 1 * 2, i = 2 * 2, i = 2 * 2 * 2, i = 2 * 2 * 2 * 2
通过 2x=n 求解 x ， x=log2n，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)
不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。
对数之间是可以互相转换的，log3n 就等于 log32 * log2n，所以 O(log3n) = O(C * log2n)，其中 C=log32 是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，
即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。
O(nlogn) 就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗？如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。
比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。
3. O(m+n)、O(m*n)
我们再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度，代码的复杂度由两个数据的规模来决定
m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。
针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。
5. 空间复杂度分析
时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。
类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。
比如数组： int[] a = new int[n] ，它的空间复杂度就是O(n)
6. 浅析最好、最坏、平均、均摊时间复杂度
最好情况时间复杂度（best case time complexity）、最坏情况时间复杂度（worst case time complexity）、
平均情况时间复杂度（average case time complexity）、均摊时间复杂度（amortized time complexity）
最好、最坏情况时间复杂度
1 int find(int[] array, int n, int x) { 2 int i = 0; 3 int pos = -1; 4 for (; i < n; ++i) { 5 if (array[i] == x) { 6 pos = i; 7 break; 8 } 9 } 10 return pos; 11 }
要查找的变量 x 可能出现在数组的任意位置。如果数组中第一个元素正好是要查找的变量 x，那就不需要继续遍历剩下的 n-1 个数据了，那时间复杂度就是 O(1)。
但如果数组中不存在变量 x，那我们就需要把整个数组都遍历一遍，时间复杂度就成了 O(n)。所以，不同的情况下，这段代码的时间复杂度是不一样的。
为了表示代码在不同情况下的不同时间复杂度，我们需要引入三个概念：最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度和平均情况时间复杂度。
最好情况时间复杂度就是，在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。在最理想的情况下，要查找的变量 x 正好是数组的第一个元素，这个时候对应的时间复杂度就是最好情况时间复杂度。
最坏情况时间复杂度就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。如果数组中没有要查找的变量 x，需要把整个数组都遍历一遍，这种最糟糕情况下对应的时间复杂度就是最坏情况时间复杂度。
平均情况时间复杂度
要查找的变量 x 在数组中的位置，有 n+1 种情况：
在数组的 0～n-1 位置中和不在数组中。我们把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来，然后再除以 n+1，就可以得到需要遍历的元素个数的平均值，即：
(1+2+3+4+...+n+n)/(n+1) = n(n+3) / 2(n + 1)
我们知道，时间复杂度的大 O 标记法中，可以省略掉系数、低阶、常量，所以，公式简化后，得到的平均时间复杂度就是 O(n)
这个结论虽然是正确的，但是计算过程稍微有点儿问题。刚这 n+1 种情况，出现的概率并不是一样的。
我们知道，要查找的变量 x，要么在数组里，要么就不在数组里。这两种情况对应的概率统计起来很麻烦，为了方便你理解，我们假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2。另外，要查找的数据出现在 0～n-1 这 n 个位置的概率也是一样的，为 1/n。所以，根据概率乘法法则，要查找的数据出现在 0～n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。
因此，前面的推导过程中存在的最大问题就是，没有将各种情况发生的概率考虑进去。如果我们把每种情况发生的概率也考虑进去，那平均时间复杂度的计算过程就变成了这样：
这个值就是概率论中的加权平均值，也叫作期望值，所以平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。
引入概率之后，前面那段代码的加权平均值为 (3n+1)/4。用大 O 表示法来表示，去掉系数和常量，这段代码的加权平均时间复杂度仍然是 O(n)。
实际上，在大多数情况下，我们并不需要区分最好、最坏、平均情况时间复杂度三种情况。很多时候，我们使用一个复杂度就可以满足需求了。
只有同一块代码在不同的情况下，时间复杂度有量级的差距，我们才会使用这三种复杂度表示法来区分。
均摊时间复杂度
均摊时间复杂度，它对应的分析方法，摊还分析（或者叫平摊分析）。
均摊时间复杂度，听起来跟平均时间复杂度有点儿像。大部分情况下，我们并不需要区分最好、最坏、平均三种复杂度。平均复杂度只在某些特殊情况下才会用到，而均摊时间复杂度应用的场景比它更加特殊、更加有限。
往数组中插入数据的功能。当数组满了之后，也就是代码中的 count == array.length 时，我们用 for 循环遍历数组求和，并清空数组，将求和之后的 sum 值放到数组的第一个位置，然后再将新的数据插入。但如果数组一开始就有空闲空间，则直接将数据插入数组。
那这段代码的时间复杂度是多少呢？你可以先用我们刚讲到的三种时间复杂度的分析方法来分析一下。
最理想的情况下，数组中有空闲空间，我们只需要将数据插入到数组下标为 count 的位置就可以了，所以最好情况时间复杂度为 O(1)。最坏的情况下，数组中没有空闲空间了，我们需要先做一次数组的遍历求和，然后再将数据插入，所以最坏情况时间复杂度为 O(n)。
那平均时间复杂度是多少呢？答案是 O(1)。我们还是可以通过前面讲的概率论的方法来分析。
假设数组的长度是 n，根据数据插入的位置的不同，我们可以分为 n 种情况，每种情况的时间复杂度是 O(1)。除此之外，还有一种“额外”的情况，就是在数组没有空闲空间时插入一个数据，这个时候的时间复杂度是 O(n)。而且，这 n+1 种情况发生的概率一样，都是 1/(n+1)。所以，根据加权平均的计算方法，我们求得的平均时间复杂度就是：
对一个数据结构进行一组连续操作中，大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，这个时候，我们就可以将这一组操作放在一块儿分析，看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且，在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。
尽管很多数据结构和算法书籍都花了很大力气来区分平均时间复杂度和均摊时间复杂度，但均摊时间复杂度就是一种特殊的平均时间复杂度，我们没必要花太多精力去区分它们。你最应该掌握的是它的分析方法，摊还分析。至于分析出来的结果是叫平均还是叫均摊，这只是个说法，并不重要。
