欧几里德及其拓展和应用

• 欧几里德定理求最大公约数：

Datatype Gcd(Datatype  a, Datatype  b){
         return (b == 0 ? a : Gcd (b, a%b));
}

运用的原理为辗转相除

Gcd(a, b) == Gcd (b, a) == Gcd(-a, b) == Gcd(|a|, |b|)

 

• 拓展欧几里得定理：

求解方程ax + by = Gcd(a, b);

int Gcd_value = 0, x = 0, y = 0; //Gcd_value为a，b的最大公约数

int exGcd(int a, int b, int &Gcd_value, int &x, int &Y){
        if (b == 0){
             x = 1;
             y = 0;
             Gcd_value = a;
        }
        else{
             exGcd(b, a%b, Gcd_value, x, y);
             int temp = x;
             x = y;
             y = tm - y*(a/b);
        }
}

 

证明：

当a != 0且b == 0，Gcd(a, b) = a，则ax + by = a ==> x = 1且y =0;

当a*b！= 0时，Gcd(a, b) == Gcd (b, a%b);

则有 ax₁ + by₁ = Gcd(a, b) = Gcd (b, a%b) = bx₂ + (a%b)y₂;

将右边变形：b*x₂ + (a%b)*y₂ = b*x₂ + (a –[a/b]*b)*y₂ = b*x₂ + a*y₂ – b*y₂*[a/b] = a*y₂ + b*(x₂ - y₂*[a/b]);

则有 ax₁ + by₁ = a*y₂ + b*(x₂ - y₂*[a/b]) ==> x1 = y2 且 y1 = x2 - y2*[a/b];

故采用递归的方法直到找到 b==0 时的情况，即 x_n = 1 且 y_n = 0，然后回溯赋值给x_n-1，y_{n-1，然后继续回溯......直到找到}x_0，y₀ ！

此时就有 a*x₀ + b*y₀ = Gcd(a, b) ==> a*(x0 + T*b) + b(y0 - T*a) = Gcd(a, b);

则有 通解 x = x₀ + T*b，y = y₀ - T*a（T为任意整数，即 ····，-2，-1，0，1，2，······）;

 

• 运用拓展欧几里德求解 ax + by = c：

首先有如下结论，（我不知道怎么来的）

若 ax + by = c 有解 则 c%Gcd(a, b) == 0 否则 方程无解;

下面求解：

上面我们得到了 ax + by = Gcd(a, b) 的初始解，x₀和y_0；

设 p = c/Gcd(a, b) => c = p*Gcd(a, b);

联立方程: a*x + b*y = Gcd(a, b) 与 a*xx + b*yy = c = p*Gcd(a, b);

则可得 a*(xx/p) + b*(yy/p) = Gcd(a, b)  则可推出通解： 

xx = x*p = x*c/Gcd(a, b);

yy = y*p = y*c/Gcd(a, b);

 

• 运用拓展欧几里德求乘法逆元：

例如：4关于模7的乘法逆元为多少？

4X≡1 mod 7

这个方程等价于求一个X和K，满足

4X=7K+1

其中X和K都是整数。

若ax≡1 mod f, 则称a关于模f的乘法逆元为x。也可表示为ax≡1(mod f)。

 

当a与f互素时，a关于模f的乘法逆元有唯一解。如果不互素，则无解。

如果f为素数，则从1到f-1的任意数都与f互素，即在 1到 f-1 之间都恰好有一个关于模f的乘法逆元。

 

例如，求5关于模14的乘法逆元：

14=5*2+4

5=4+1

说明5与14互素，存在5关于14的乘法逆元。

1=5-4=5-(14-5*2)=5*3-14

因此，5关于模14的乘法逆元为3。

 

其求法可运用拓展欧几里德原理。

求 ax≡1 mod b 中的x值相当于 求解 ax - by = 1，将负号并入 y 中则有 ax + by = 1，其中 Gcd(a, b) == 1(因其互质)，则我们就可以运用拓展欧几里德原理解出x，y的基础解，然后通过求解通解的方式找到 1 <= x < b 的值，此值即为 a关于模b的乘法逆元！