高斯分布概率密度函数积分推导

高斯分布：

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})$

标准高斯分布：

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{x^{2}}{2})$

 

一个高斯分布只需线性变换即可化为标准高斯分布，所以只需推导标准高斯分布概率密度的积分。由：

$\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{x^{2}}{2})dx = \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{y^{2}}{2})dy$

得:

$\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{x^{2}}{2})dx\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{y^{2}}{2})dy = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }exp(-\frac{(x^{2}+y^{2})}{2})dxdy$

变换为极坐标得：

$x = rcos\theta , y = rsin\theta$

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }exp(-\frac{(x^{2}+y^{2})}{2})dxdy = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi  }\int_{0}^{+\infty }exp(-\frac{r^{2}}{2})rdrd\theta$

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }exp(-\frac{(x^{2}+y^{2})}{2})dxdy = \int_{0}^{+\infty }exp(-\frac{r^{2}}{2})rdr$

令$t = \frac{r^{2}}{2} $,得：

$\int_{0}^{+\infty }exp(-\frac{r^{2}}{2})rdr = \int_{0}^{+\infty }exp(-t)dt = 1$

终得：

$\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{x^{2}}{2})dx = \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{y^{2}}{2})dy = 1$

由于标准高斯分布概率密度函数$f(x)$满足：

$\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx = \int_{-\infty }^{+\infty }f(x-c)dx$

$\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx = \frac{1}{a}\int_{-\infty }^{+\infty }f(\frac{x}{a})dx$

所以任意高斯分布概率密度函数积分为1。

 

高斯分布的均值：

$ E(x) = \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})xdx  $

$= \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})（x-\mu）dx  + \mu\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})dx  $

由奇偶性得：

$ E(x) =  \mu\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})dx = \mu$

高斯分布的方差：

$Var(x) = \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})(x-\mu)^{2}dx$ 

$\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{y^{2}}{2\sigma^{2}})y^{2}dy = \sigma^{2} $