对称矩阵，正定矩阵的性质

对称矩阵$A$的性质:

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1. 如果$A$ 是对称矩阵且可逆，即$A^{-1}$存在，且$A=A^T$,则 $A^{-1}$也是对称矩阵。

Proof

首先证明 $(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$.
根据可逆矩阵的定义，如果矩阵满足$M\cdot N=I$, 则说明两个矩阵互为可逆矩阵，矩阵$M$为矩阵$N$的逆矩阵，即$M=N^{-1}$，矩阵$N$为矩阵$M$的逆矩阵,即$N=M^{-1}$.

此外，矩阵的转置性质：$(M\cdot N)^T=N^T\cdot M^T$.

$I=A^{-1}A=(A^{-1}A)^T=A^T (A^{-1})^T,$ 可见$A^T$与$(A^{-1})^T$互为可逆，所以$(A^{-1})^T$可以写为$(A^T)^{-1}$.

其次需要证明$A^{-1}=(A^{-1})^T.$